Tue-13-05-2025 21:03 profe: Pablo Herrera status: tags: Continuidad

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Recordamos que el concepto de continuidad: $f:(E,d)\to(E',d')$ es continua en $x \in E$ si

$$\forall\mathcal{E}\:\exists\:\delta>0\bigm| d(x,y)<\delta\implies d'(f(x),f(y))<\mathcal{E}$$

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Ejercicio 1

Sean $E=C([0,1])$ con $d=d_{\infty}(f,g)=\underset{ x \in[0,1] }{ sup }\:\left| f(x)-g(x) \right|$
Y la función

$$S:C([0,1])\to C([0,1])\bigm| S(f)=f^{2}$$

Veamos que es continua

Sea $\mathcal{E}>0$ y sea $f_{0}\in C([0,1])$ Quiero ver que $\:\exists\:\delta>0\bigm|d_{\infty}(f,f_{0})<\delta\implies d_{\infty}((f^{2},f_{0}^{2}))<\mathcal{E}$

$$d_{\infty}(f^{2},f_{0}^{2}) =\underset{ x \in[0,1] }{ sup }\:\left| f^{2}(x)-f_{0}^{2}(x) \right|$$

Por un lado tenemos que

$$\left| f^{2}(x)-f_{0}^{2}(x) \right| =\left| (f(x)+f_{0}(x))\cdot\underbrace{ (f(x)-f_{0}(x)) }_{ \leq d_{\infty}((f,f_{0}))<\delta } \right|$$

Acotemos

$$|f(x)+f_{0}(x)|=|f(x)-f_{0}(x)+f_{0}(x)+f_{0}(x)|\leq |f(x)-f_{0}(x)|+ 2|f_{0}(x)|$$ $$\leq d_{\infty}(f,f_{0}) +2|f_{0}(x)|$$

Pero $f_{0}$ es continua en $[0,1]$. Por lo tanto tiene máximo y depende de $f_{0}$

$$|f_{0}(x)|\leq C\text{ Para algun $C$ en } \mathbb{R}$$

Por lo tanto

$$|f(x)+f_{0}(x)|\leq \delta^{2}+2\cdot C\cdot\delta$$

De esta manera entonces elijo $\delta$ de la siguiente manera:

$$\delta=min\left\{ \sqrt{ \frac{\mathcal{E}}{2} },\frac{\mathcal{E}}{4C} \right\}$$

Luego,

$$d_{\infty}(f^{2},f_{0}^{2}) \leq \delta^{2}+2C\delta<\frac{\mathcal{E}}{2}+2C\frac{\mathcal{E}}{4C}=\mathcal{E}$$

$f$ resulta ser continua.

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Ejercicio 2

$$f:(E,d)\to (\mathbb{R},|\cdot|)$$

Probar que

$$f\text{ es continua }\iff \begin{cases} U_{\alpha}=\{ x \in E\bigm| f(x)\in(\alpha,+\infty) \} \\ V_{\alpha}=\{ x \in E\bigm| f(x)\in(-\infty,\alpha) \} \end{cases} \text{ son abiertos}$$

$\implies)$

$$U_{\alpha}=f^{-1}(\underbrace{ (\alpha,+\infty) }_{ \in \mathbb{R} })$$

Como $(\alpha,+\infty)$ es abierto en $\mathbb{R}$ y $f$ es continua, entonces $f^{-1}((\alpha,+\infty))=U_{\alpha}$ es abierto. Pues es preimagen de un abierto.

$\impliedby)$ Por hipótesis $U_{\alpha},V_{\alpha}$ son abiertos $\forall\alpha \in \mathbb{R}.$ Quiero ver que $f$ es continua

Vamos a utilizar esto:

$$\text{$f$ es continua $\iff \forall G\subseteq E'$ abierto, $f^{-1}(G)$ es abierto.}\tag{1}$$

Entonces, sea $G\subseteq \mathbb{R}$ arbitrario y abierto. Como es abierto puedo escribirlo de esta manera:

$$G=\bigcup_{x \in G}B(x,r_{x})=\bigcup_{x \in G}(x-r_{x},x+r_{x})$$

Veamos su preimagen:

$$f ^{-1}(G)=f ^{-1}\left( \bigcup_{x \in G}(x-r_{x},x+r_{x}) \right)=\bigcup_{x \in G} f ^{-1}\left( (-\infty ,x+r_{x})\cap(x-r_{x},+\infty) \right)$$ $$=\bigcup_{x \in G}\underbrace{f ^{-1} ((-\infty,x+r_{x})) }_{ V_{x+r_{x}} }\cap \underbrace{ f ^{-1}((x-r_{x},+\infty) }_{ U_{x-r_{x}} })$$

La intersección finita de abiertos es abierto. La union arbitraria de abiertos es abierta, entonces $f ^{-1}(G)$ es abierto. Y $G$ era abierto y arbitrario. Por $(1)$ entonces $f$ es continua.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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