Thu-15-05-2025 20:01 profe: Mariano Negri status: tags:

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Recordamos la continuidad es una propiedad local. Y la continuidad uniforme es global.

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$$Ejemplos:$$ $$\begin{array}{l} f_{1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{ no es u.c.} \\ \quad \quad x \mapsto x^{2} \\ f_{2}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{ no es u.c.} \\ \quad \quad x \mapsto e^{x} \\ f_{3}:[0,100]\to \mathbb{R}\text{ es u.c.} \\ \quad \quad x \mapsto x^{3} \end{array}$$

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Ejercicio 1

Veamos que $f_{2}$ no es uniformemente continua Supongamos que si lo es. Dado $\mathcal{E}>0,$ quiero buscar un $\delta>0$ tal que $d(x,y)<\delta\implies d(e^{x},e^{y})<\mathcal{E}$

$$\begin{array}{c} |x-y|<\delta\implies |e^{x} -e^{y} |<\mathcal{E} \\ e^{x} \cdot |1-e^{y-x} |<\mathcal{E} \\ |1-e^{y-x} |< \frac{\mathcal{E}}{e^{x} } \\ \end{array}$$ $$\begin{array}{c} \implies - \frac{\mathcal{E}}{e^{x} }< 1-e^{y-x} <\frac{\mathcal{E}}{e^{x} } \\ \ln(-\frac{\mathcal{E}}{e^{x} }-1)>y-x>\ln(\frac{\mathcal{E}}{e^{x} }-1) \end{array}$$

Si (notar que $\delta$ depende de $x$)

$$\delta=max\left\{ \left| \ln\left( - \frac{\mathcal{E}}{e^{x}}- 1\right) \right|,\left| \ln\left( \frac{\mathcal{E}}{e^{x}}+1\right) \right| \right\}$$

entonces si $|x-y|<\delta$ obtengo $|e^{x}-e^{y}|<\mathcal{E}$

Considero las sucesiones

$$\begin{array}{c} x_{n}= n \\ y_{n}=n+ \frac{1}{n} \end{array}$$

Están a distancia $\frac{1}{n}$, a la larga $d(x_{n},y_{n})\to0\implies d(x_{n},y_{n}<\delta)$

$$\begin{array}{l} |e^{ n + \frac{1}{n}}-e^{n} |=e^{n} \cdot |e^{ \frac{1}{n}-1} | \\ \geq e^{n} \cdot |e^{ \frac{1}{2}-1} | \quad \quad si \: n\geq 2 \\ \geq e \cdot |e^{ \frac{1}{2}} -1|\quad \quad si \: n\geq 2 \end{array}$$

Sea $\mathcal{E}=e|e^{\frac{1}{2}}-1|$, si $f(x)=e^{x}$ fuese uniformemente continua entonces existiría $\delta>0$ tal que si $|x-y|<\delta\implies |f(x)-f(y)|<\mathcal{E}$ Sea $n_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{n}<\delta$ $\forall n\geq n_{0}$ , entonces los $x_{n}$ e $y_{n}$ de arriba cumplen

$$|x_{n}-y_{n}|= \frac{1}{n}<\delta$$

pero

$$|f(x_{n})-f(y_{n})|\geq \mathcal{E}$$

Lo cual es un absurdo que proviene de suponer que $f$ era uniformemente continua.

$$\therefore\: f\text{ no es unif. cont.}$$ $$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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Ejercicio 2

$$f(x)=sen(x)$$ $$|f(x)-f(y)|=|sen(x)-\underset{ \text{teorema del valor medio} }{ sen(y)|= |f'(c)|}\cdot |x-y|=|\cos(c)|\cdot |x-y|\leq |x-y|$$

Entonces es de tipo Lipschitz $\implies$ es uniformemente continua. 9

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Ejercicio 3

$$\begin{array}{c} f:(\mathscr{l}^{\infty} (\mathbb{R}),d\infty)\to (\mathbb{R},|\cdot|) \\ \quad ( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\mapsto x_{1} \end{array}$$

$f$ es continua? Es uniformemente continua?

Recordar:

$$\begin{array}{c} \mathscr{l}^{\infty} (\mathbb{R})=\{ \text{sucesiones acotadas de nros reales} \} \\ d_{\infty}((a_{n})_{n},(b_{n})_{n}) =\underset{ n \in \mathbb{N} }{ sup }\:\left| a_{n}-b_{n} \right| \end{array}$$

Sea $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\in \mathscr{l}^{\infty}(\mathbb{R})$ Veamos que $f$ es continua en $(x_{n})_{n}$

Dados $\mathcal{E}>0,(y_{n})_{n}\in \mathscr{l}^{\infty}(\mathbb{R}).$ Queremos acotar:

$$|f((x_{n}))-f((y_{n}))|=|x_{1}-y_{1}|< \mathcal{E}$$

Sabiendo que $d_{\infty}((x_{n}),(y_{n}))<\delta$ .

Como $d_{\infty}((x_{n}),(y_{n}))$ es el supremo de un conjunto al que pertenece $|x_{1}-y_{1}|$, entonces vale

$$|x_{1}-y_{1}|\leq d_{\infty}((x_{n})_{n},(y_{n})_{n}) <\delta$$

Por lo tanto $f$ es uniformemente continua, particularmente también es continua.

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Ejercicio 4

$$\begin{array}{c} F:(C[0,1],d_{\infty})\to (C[0,1],d_{1}) \\ g\mapsto g \end{array}$$

Notar que $F=id_{C[0,1]}$

Recordar:

$$d_{\infty}(f,g) =\underset{ x \in[0,1] }{ sup }\:\left| f(x)-g(X) \right|$$ $$d_{1}(f,g)=\int _{0}^{1} |f(x)-g(x)| \, dx$$ $$d_{1}(F(g_{1}),F(g_{2}))=d_{1}(g_{1},g_{2})=\int _{0}^{1} |g_{1}(x)-g_{2}(x)| \, d\leq \int _{0}^{1} d_{\infty}(g_{1},g_{2}) \, dx=$$ $$=d_{\infty}(g_{1},g_{2}) \cdot \int _{0}^{1} 1 \, dx =d_{\infty}(g_{1},g_{2})$$

Entonces $F$ es Lipschitz con $C=1$ $\implies F$ es uniformemente continua.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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Ejercicio 5

$$\begin{array}{c} G:(C[0,1],d_{1})\to (C[0,1],d_{\infty}) \\ \quad f\mapsto f \end{array}$$

Vamos a dar una sucesión de funciones $( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\in C[0,1]$ tal que $f_{n}\underset{ d_{1} }{ \longrightarrow } 0$ pero $G(f_{n})=f_{n}\underset{ d_{\infty} }{ \not\longrightarrow }G(0)=0$
Si hacemos eso sale que $G$ no es continua. Sea $f_{n}:[0,1]\to \mathbb{R}$ la función continua que está graficada en el dibujo:

Es decir, $f_{n}(x)=0$ si $x\leq1- \frac{1}{n}$. $f_{n}(x)$ es un tramo lineal que une $\left( 1 - \frac{1}{n},0 \right)$ con $(1,1)$ para $x= 1 - \frac{1}{n}$

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Ejercicio 6

Probar si la función $h$ es continua o uniformemente continua.

$$\begin{array}{c} h:\mathscr{l}^{\infty} (\mathbb{R})\to \mathscr{l}^{\infty}(\mathbb{R}) \\ \quad \quad ( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\mapsto \left( \frac{x_{n}}{n} \right)_{n \in \mathbb{N}} \end{array}$$

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Citas y Comentarios

Esta clase falté, pedí los apuntes para copiar.