Tue-06-05-2025 20:25 profe: Dario Martin Aza status: tags:

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Ejercicio 1

Definimos $( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ del siguiente modo:

$$a_{n+1}= \frac{3}{7}\cdot a_{n}+ \frac{4}{7}\cdot a_{n-1}\quad \forall n\geq 2$$

$a_{1}=1,a_{2}=2$ Probar que $( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ converge.

$Sol:$ No tenemos forma directa de ver un candidato a límite. Probemos que $( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ es de Cauchy

$$|a_{n}-a_{m}|<|a_{n}-a_{n-1}|+|a_{n-1}-a_{n-2}|+\dots+|a_{m+1}-a_{m}|$$

Por otro lado

$$\begin{array}{c} a_{n+1}-a_{n}= \frac{3}{7}\cdot a_{n}+ \frac{4}{7}\cdot a_{n-1}-a_{n} \\ = \frac{4}{7}\cdot a_{n-1}- \frac{4}{7}\cdot a_{n} \\ = \frac{4}{7}\cdot(a_{n-1}-a_{n}) \end{array}$$ $$\begin{array}{c} |a_{n+1}-a_{n}|= \frac{4}{7}|a_{n}-a_{n-1}|=\dots= \\ =\left( \frac{4}{7} \right)^{n-1}\cdot |a_{2}-a_{1}|= (\frac{4}{7})^{n-1} \end{array}$$

Si $n\geq m:$

$$|a_{n}-a_{m}|\leq \left( \frac{4}{7} \right)^{n-2}+ \left( \frac{4}{7} \right)^{n-3}+\dots+ \left( \frac{4}{7} \right)^{m-1}$$ $$\leq (n-m)\cdot \left( \frac{4}{7} \right)^{m-1}\leq \underbrace{ n\cdot \left( \frac{4}{7} \right)^{m-1} }_{ \to 0 }$$ $$\:\exists\:n_{0} \in \mathbb{N}\bigm| si\:n,m\geq n_{0}\implies n\cdot\left( \frac{4}{7} \right)^{m-1}<\mathcal{E}$$

Como $( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ es de Cauchy y $\mathbb{R}$ es completo $( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ es convergente.

Otra forma:

$$|a_{n}-a_{m}|\leq \sum_{i=m-1}^{n-2} \left( \frac{4}{7} \right)^{i} = \frac{ \left( \frac{4}{7} \right)^{n-3}-1 }{\frac{4}{7}-1}\cdot\left( \frac{4}{7} \right)^{m-1}\leq \frac{1}{1-\frac{4}{7}}\cdot \left( \frac{4}{7} \right)^{m-1}$$

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La vez pasada con Pablo vieron que $(C[0,1], d_{\infty})$ es completo pero que $(C[0,1],d_{1})$ no es completo.

Sea $( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ de Cauchy. Para esto definimos

$$\underset{ n\to \infty }{ \lim } f_{n}=f$$

Este limite existe porque $( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ es una sucesión de Cauchy de números reales, con $x$ fijo.

$$|f_{n}(x)-f_{m}(x)|\leq \underset{ y \in[0,1] }{ sup }\:|f_{n}(y)-f_{m}(y)|=d_{\infty}(f_{n},f_{m})<\mathcal{E}$$

Entonces así defino una $f:[0,1]\to \mathbb{R}$

• $f$ es continua, para ver que está en nuestro espacio ambiente.
• $f_{n}\to ^{d_{\infty}}f$ Veamos esto ultimo. Idea: Sea $\mathcal{E}>0$, $x_{0}\in[0,1]$

$$|f(x)-f(x_{0})|\leq |f(x)-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})|+|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|$$

Como vimos que $f_{n}\to f$ ?

$$\underset{ x \in[0,1] }{ sup }\:|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\mathcal{E}$$

Esto lo sabemos pues $( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ es de Cauchy.

$$|f(t)-f_{n}(t)|\leq |f(t)-f_{m}(t)|+|f_{m}(t)-f_{n}(t)|$$

Si $m\geq m_{0}(\mathcal{E},t)$ entonces $|f(t)-f_{m}(t)|< \frac{\mathcal{E}}{2}$ porque $f_{n}(t)\to f(t)$ si $m,n\geq n_{0}(\mathcal{E})\implies$ $|f_{m}(t)-f_{n}(t)|< \frac{\mathcal{E}}{2}$ porque $(f_{n})$ es de Cauchy

$\implies$ si $n\geq n_{0}(\mathcal{E})$

$$|f(t)-f_{n}(t)|\leq |f(t)-f_{\tilde{m}}(t)|+|f_{\tilde{m}}(t)-f_{n}(t)|< \frac{\mathcal{E}}{2}+ \frac{\mathcal{E}}{2}=\mathcal{E}$$

$\implies$

$$\underset{ t \in[0,1] }{ sup }\:|f(t)-f_{n}(t)|<\mathcal{E}$$

Para probar que $f$ es continua

$$|f(x)-f(x_{0})|\leq |f(x)-f_{n}(x)|+|f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})|+|f_{n}(x_{0})-f(x_{0})|$$

si $n\geq n_{0}$ : $|f(t)-f_{n}(t)|< \frac{\mathcal{E}}{3}$ $\forall t$

Si $|x-x_{0}|<\delta$, como $f_{n}$ es continua

$$|f_{n}(x)-f_{n}(x_{0})|< \frac{\mathcal{E}}{3}$$

Por lo que si $|x-x_{0}|<\delta$ tengo

$$|f(x)-f(x_{0})|< \frac{\mathcal{E}}{3} +\frac{\mathcal{E}}{3}+\frac{\mathcal{E}}{3}= \mathcal{E}$$

$\implies f$ es continua.

Prueben que $(B[0,1),\mathbb{R})$ es completo con $d_{\infty}$

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Ejercicio 2

Pruebe que $(\mathscr{l}^{\infty},d_{\infty})$ es completo.

$$\mathscr{l}^{\infty} (\mathbb{R})=\{ \text{sucesiones } ( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}} \text{ acotadas}\}$$ $$d_{\infty}(a_{n},b_{n})=\underset{ n \in \mathbb{N} }{ sup \:}|a_{n}-b_{n}|$$

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Ejercicio 3

Probar que $(X,d)$ es un espacio métrico completo $\iff$ $\forall x \in X,\forall r>0$ $B[x,r]$ es completo.

$\implies)$ Sea $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de Cauchy en $B[x,r]$ para algún $x \in X,r>0.$ Quiero ver que $(x_{n})_{n}$ converge

Como $B[x,r]\subseteq X$ la sucesión $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ es una sucesión en $X$ y como la distancia es la misma $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ es de Cauchy en $X.$ Como $(X,d)$ es completo $\:\exists\:y \in X$ con $x_{n}\to y$

Como $B[x,r]$ es un cerrado de $X$ entonces $y=\underset{ n\to \infty }{ \lim }x_{n} \in B[x,r]$
$\implies$ $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ converge en $B[x,r]$ a $y$. $\implies B[x,r]$ es completo.

$\impliedby)$ Sean $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq X$ de Cauchy, Quiero ver que converge. Como $( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ es de Cauchy y dado $\mathcal{E}>0\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N}$ tal que si $n,m\geq n_{0}$

$$\begin{array}{c} \implies d(x_{n},x_{m})<\mathcal{E} \\ \implies d(x_{n},x_{n_{0}})<\mathcal{E}\implies(x_{n})_{n\geq n_{0}}\subseteq B(x_{n_{0}},\mathcal{E})\subseteq B[x_{n_{0}},\mathcal{E}] \end{array}$$

$(x_{n})_{n\geq n_{0}}$ es subsucesión y es de Cauchy.

$$\begin{array}{l} \implies \:\exists\:y \in B[x_{n_{0}},\mathcal{E}]\subseteq X\text{ tal que }d(x_{n},y)\to 0 \\ \implies x_{n}\to y \\ \implies X\text{ es completo.} \end{array}$$

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Citas y Comentarios

Mail Dario: daruaza@hotmail.com