Tue-29-04-2025 20:49 profe: Juan Garber status: tags: Espacios métricos

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Ejercicio 1

$$\begin{array}{c} \text{$(C[0,1],d_{1})$ es completo ?} \end{array}$$

Consideramos la sucesión de funciones

$$f_{n}(x)=\begin{cases} 0 & x \in\left[ 0, \frac{1}{2} - \frac{1}{n}\right) \\ n\left( x-\left( \frac{1}{2}- \frac{1}{n} \right) \right) & x \in\left[ \frac{1}{2}- \frac{1}{n}, \frac{1}{2} \right) \\ 1 & x \in \left[ \frac{1}{2},1 \right] \end{cases}$$

Veamos que es de Cauchy, sea $\varepsilon>0$

$$d_{1}(f_{n}(x),f_{m}(x))=\int_{0}^{1}\left| f_{n}(x)-f_{m}(x) \right| \:dx\leq \frac{1}{2\cdot min\{ m,n \}}<\varepsilon$$

Si $n,m\geq n_{0}\bigm| \frac{1}{n_{0}}<\varepsilon$

Supongo que $f_{n}\to f \in C[0,1]$ y considero una función $g$

$$g(x)=\begin{cases} 0 & x \in \left[ 0, \frac{1}{2} \right) \\ 1 & x \in\left[ \frac{1}{2},1 \right] \end{cases}$$ $$\int _{0}^{1} \left| f-g \right| \, dx=\int _{0}^{ 1/2} \left| f-g \right| \, dx+\int _{ \frac{1}{2}}^{1} \left| f-g \right| \, dx\leq \underbrace{ \int _{0}^{1} |f-f_{n}| \, dx }_{ <\frac{\varepsilon}{2} } +\underbrace{ \int _{0}^{1} |f_{n}-g| \, dx }_{ \leq \frac{1}{2\cdot n} < \frac{\varepsilon}{2}}<\varepsilon$$ $$\implies \int _{0}^{1} |f-g| \, dx =0$$ $$\implies \int _{0}^{\frac{1}{2}} |f-g| \, dx=0$$

Por lo tanto $f-g$ es continua en $\left[ 0,\frac{1}{2} \right]$ y $f=g$ en $\left[ 0,\frac{1}{2} \right]$ . Pero $f$ es continua, y $g$ no lo es. Absurdo.

Por lo tanto $(C[0,1],d_{1})$ no es completo.

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$$(C[0,1],d_{\infty})\text{ es completo}$$

Sea $( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ de Cauchy. Defino $f$ como:

$$f(x)=\underset{ n\to \infty }{ \lim } f_{n}(x)$$

Paso 1. Defino $f$ candidato a límite Paso 2. $d_{\infty}(f_{n},f)=sup\left| f_{n}-f \right|\to 0,f_{n}$ converge a $f$ Paso 3. Verificar que $f$ es continua.

Sea $n$ fijo, con $m,n\geq n_{0}$ tal que $sup\left| f_{n}-f_{m} \right|<\varepsilon$

$$\underset{ m\to \infty }{ \lim } \left| f_{n}-f_{m} \right| <\varepsilon$$

Por como definí $f$ entonces:

$$\left| f_{n}-f \right|<\varepsilon$$

Faltaría ver continuidad (de tarea)

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