Consultas Pre-Primer Parcial: Modelado Continuo

Ejercicio 1

$$\begin{cases} h'=\rho\cdot h\cdot\left( 1- \frac{h}{k}-p \right) \\ p'= - \frac{1}{\rho}\cdot p\cdot(1-h) \end{cases}$$ $$\begin{cases} \dot{H}=b\cdot H\cdot\left( 1-\frac{H}{k} \right)-s\cdot P\cdot H \\ \dot{p}=-dP+e\cdot s\cdot PH \end{cases}$$

Ejercicio 2

$a)$ $V:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ $C^{1}\quad x^{*}$ mínimo de $V$ $\dot{X}=-\nabla V\implies x^{*}$ es equilibrio del sistema asintóticamente estable.

$b)$ Estudiar la estabilidad del $(0,0)$ para

$$\begin{cases} \dot{x}=(X-y)^{2} +\sin(x)\cdot \cos(x) \\ \dot{y}=-(x-y)^{3} \end{cases}$$

Ejercicio 3

$$\begin{cases} x'=x-y-2x(x^{2}+y^{2}) \\ y'=x+y-y(x^{2}+y^{2}) \end{cases}$$

Probar que el sistema posee un ciclo límite.

Ejercicio 4

$$x'=-x(4x^{2}+\lambda^{2}-1)$$

Esbozar un diagrama de bifurcación.

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$$h=\frac{Hes}{d};\quad p=\frac{Ps}{b};\quad k=\frac{Kes}{d};\quad t=\sqrt{ bd }\cdot t;\quad p=\sqrt{ \frac{b}{d} }$$

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Estabilidad lineal:

$$DF(p,h)=\begin{bmatrix} \rho\left( 1- \frac{2h}{k}-p \right) & -p\cdot h \\ \frac{1}{\rho}\cdot p & \frac{-1}{\rho}\cdot(1-h) \end{bmatrix}$$ $$DF(p_{1})=DF(0,0)=\begin{bmatrix} \rho & 0 \\ 0 & -\frac{1}{\rho} \end{bmatrix} \implies \begin{cases} \lambda_{1}=\rho>0 \\ \lambda_{2}=-\frac{1}{\rho}<0 \end{cases} \implies p_{1} \text{ es silla}$$

00:00

$$DF(p_{2})=DF(k,0)=\begin{bmatrix} -\rho & -rhp\cdot k \\ 0 & -\frac{(1-k)}{\rho} \end{bmatrix} \implies \begin{cases} \lambda_{1}=-\rho>0 \\ \lambda_{2}=-\frac{(1-k)}{\rho}\begin{cases} <0\quad k<1 \\ >0\quad k>1 \end{cases} \end{cases}$$

Si $k<1\implies p_{2}$ es nodo estable Si $k>1\implies p_{2}$ es silla.

$k>1$

$$DF(p_{3})=DF\left( 1,1-\frac{1}{k} \right)=\begin{bmatrix} \rho\cdot\left( 1-\frac{2}{k}+1+\frac{1}{k} \right) & -\rho \\ \frac{1}{\rho}\left( 1-\frac{1}{k} \right) & 0 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -\frac{\rho}{k} & -\rho \\ \frac{1}{\rho}\left( 1-\frac{1}{k} \right) & 0 \end{bmatrix}$$ $$\det(DF(p_{3}))=\Delta(p_{3})=1- \frac{1}{k}$$

13:39 (Clave esto)

Si la traza me da positiva es inestable. (revisar esto)

$traza(DF(p_{3}))=\tau(p_{3})=- \frac{\rho}{k}<0$

Para matrices 2x2 el polinomio característico es:

$$p_{A}(\lambda)=\lambda^{2}-\tau\cdot\lambda+\Delta$$

Veo el discriminante:

$$\lambda=\frac{\tau\pm \sqrt{ \tau^{2}-4\cdot \Delta }}{2}$$ $$\tau^{2}-4\Delta=\frac{\rho^{2}}{k^{2}}-4\cdot\left( 1-\frac{1}{k} \right)$$ $$\begin{array}{c} \frac{\rho^{2}}{k^{2}}-4\cdot\left( 1-\frac{1}{k} \right) >0\\ \rho^{2}>4\cdot \frac{k-1}{\cancel{ k }}\cdot k^{\cancel{ 2 }} \\ \rho^{2}\geq 4(k-1)\cdot k \end{array}$$

$p_{3}$ es nodo estable.

Si $\rho^{2}<4(k-1)k\implies p_{3}$ es foco estable.

La bifurcación es siempre con nodo a nodo.

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Ejercicio 2 discutido en 56:00 Ejercicio 4 discutido en 59:14

$$f(X)=-x\cdot(4\cdot x^{2}+\lambda^{2}-1)\sim x\cdot(1-\lambda^{2})$$

Adjuntar foto. Ejercicio 3: 01:04:00

$$\begin{cases} x=r\cdot \cos \theta \\ y=r\cdot \sin \theta \\ r^{2}=x^{2}+y^{2} \end{cases} \implies{2}\cdot r \cdot \dot{r}=2x \dot{x}+2 y \dot{y}$$ $$\begin{array}{c} =x(x-y-2xr^{2})+y(x+y-y\cdot r^{2})=x^{2}-xy-2x^{2}r^{2}+xy+y^{2}-x^{2}\cdot r^{2} \\ =r^{2}-2x^{2}r^{2}-y^{2}r^{2} \\ =r^{2}\cdot(1-x^{2}-x^{2}-y^{2}) \\ =r^{2}\cdot(1-r^{2}\cdot \cos ^{2}\theta-r^{2})=r^{2}\cdot(1-r^{2}(\cos ^{2}\theta+1)) \\ \dot{r}=r\cdot(1-r^{}(1-r^{2}(\cos ^{2}\theta+1))) \end{array}$$

Ahora tengo que darme cuenta que hay un anillo invariante.

$$r^{2}<r^{2}\cdot(\cos ^{2}\theta+1)<2\cdot r^{2}$$ $$1-r^{2}>1-r^{2}(\cos ^{2}\theta+1)>1-2r^{2}>0$$

Tomo un radio tal que $r<\sqrt{ \frac{1}{2} }$ . Este es mi radio interior.

Ahora busco otro radio con direcciones para adentro y que no encierra equilibrios. Digamos $r>1$

Ahora resulta que el anillo resultante es invariante.

$$\implies A=\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \bigm| \frac{1}{2\sqrt{ 2 }}<\sqrt{ x^{2}+y^{2} }<2 \right\}$$

Chequear que $(0,0)$ es el único equilibrio.