18 - Sucesiones de funciones II

Tue-05-11-2024 09:35 profe: Nicolás Sirolli- Mauro status: tags: Sucesiones y Series de funciones

Recordar: Dadas $F_{N},F:X\to \mathbb{R},F_{N}\rightrightarrows F\iff(\forall\mathcal{E})\quad \:\exists\:n_{0}\:|\:|F_{N}(x)-F(x)|<\mathcal{E}\quad\forall n\geq n_{0},\forall x \in X$ $\iff \forall\mathcal{E}> 0\:\exists\:n_{0}\:|\:\left\| F_{N}-F \right\|_\infty<\mathcal{E}\quad\forall N\geq n_{0}\iff F_{N}\to F$ en $(B(x),\left\| \right\|_\infty)$. $F_{N}-F\in B()\quad\forall N\gg 0$

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$$Ejemplo:$$

$X=\mathbb{R},F_{N}(x)=x + \frac{1}{n},F(x)=x$ Así, $F,F_{N}\neq B(\mathbb{R})$ para $F_{N}(x)-F(x)= \frac{1}{n}$ Así, $F_{N}-F\in B(\mathbb{R}),\left\| F_{N}-F \right\|_\infty= \frac{1}{N}\to0$

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En gral. nos interesa:

$$F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}f_{n} (x)=\lim_{ N \to \infty } \sum_{n=0}^{N} f_{n} (x)=f_{N}(x)$$

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Series de funciones

$E$ normado. Sea $( f_n )_{n \in \mathbb{N} }\subseteq E$ consideramos $(F_{N})_{N}\subseteq E$ como

$$F_{N}=\sum_{n=0}^N f_{n}$$

Decimos que $\sum_{n\geq 0}f_{n}$ converge a $F\in E$ si $F_{N}\to F$ en $E$. Escribimos, en tal caso:

$$F=\sum_{n\geq 0}f_{n}$$

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$$Ejemplo$$

Fijo $0\leq r< 1$ $E=C([-r,r])$ con $\left\| \right\|_\infty$ Tomo$f_{n}(x)=x^n$ ¿$\:\exists\:F\in E$ con $F=\sum_{n\geq 0}f_{n}$? En tal caso,

$$(\forall x)F(x)=\lim_{ N \to \infty }F_{N}(x)=\lim_{ N \to \infty } \left( \sum_{n=0}^{N} x^n \right)$$ $$\lim_{ N \to \infty } \frac{1-x^N}{1-x}=\frac{1}{1-x}=F(x)$$

¿$F_{N}\rightrightarrows F$?

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$$Ejemplo(cont):$$ $$|f_{n}(x)|=|x^n|\leq r^n\quad \forall x\in[-r,r]$$

Así, $\left\| f_{n} \right\|_\infty\leq r^n$ (Es igual cuando $x=r$) Luego $\sum_{n}\left\| f_{n} \right\|_\infty\leq \sum_{n}r^n=\frac{1}{1-r}$

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$$Ejemplo \:(cont)$$ $$\sum_{n\geq 0}x^n=\frac{1}{1-x}$$

Más aún, la convergencia(de las sumas parciales) es uniforme en $[-r,r]$ ¿La convergencia es uniforme en $(-1,1)$? No:

$$\left\| \frac{1}{1-x}-\sum_{n=0}^{N} x^n \right\|_{\infty}=\left\| \frac{x^N}{1-x} \right\|_\infty \underset{x= { \left( \frac{1}{2} \right)}^{ 1/N}}{\geq } \frac{ \frac{1}{2}}{1- \left( \frac{1}{2} \right)^{1/N}}\to +\infty$$

Notar que $\left( \frac{1}{2} \right)^{1/N}\underset{N\to + \infty}{\to}1$ Y además:

$$\underbrace{\frac{1}{1-x}}_{f} -\underbrace{\sum_{n=0}^{N} x^n}_{g} \not\in \mathcal{B} ([-1,1])$$

De hecho, $g\in B([-1,1])$ pero $f \not\in \mathcal{B}([-1,1])$

Si a una acotada le sumo una acotada debe quedar acotada. Y aca paso que la suma f+g no es acotada.

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$$Ejemplo\:(cont):$$

Sirve $c_{n}=r^n$

$Dem:$ $|f_{n}(x)|\leq c_{n}\quad\forall x \implies\left\| f_{n} \right\|_\infty\leq c_{n}$ Luego,

$$\sum_{n\geq 0}\left\| f_{n} \right\|_\infty \leq \sum_{n\geq 0}c_{n}<+oo$$

i.e. $\sum f_{n}$ converge normalmente y listo.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$ $$Ejemplo\:(cont):$$ $$\sum_{n\geq 0}x^n=\frac{1}{1-x}$$

Unif. en $[-r,r]\quad\forall r<1$ Fijo $t\in(-1,1)$. Tomo $r<1$ con $r>|t|$. Trabajo en $[-r,r]$: Sea $F_{N}(x)=\sum_{n=0}^{N}x^n$ y $F(x)=\frac{1}{1-x}$

$F_{N}\rightrightarrows F$ en $[-r,r]$ luego

$$\text{$F_{N}\rightrightarrows F$ en}\begin{cases} [0,t] & t\geq 0 \\ [t,0] & t<0 \end{cases}$$ $$\int_{0}^t F_{N}(x) \, dx \to \int_{0}^t F(x) \, dx$$

Es decir,

$$\int_{0}^t \frac{1}{1-x} \, dx =\lim_{ N \to \infty } \int\left( \sum_{n=0}^{N} x^n \right)\:dx=\lim_{ N \to \infty } \sum_{n=0}^{N} \int_{0}^t x^n \, dx =\lim_{ N \to \infty } \sum_{n=0}^{N} \frac{t^{n+1}}{n+1}=\sum_{n\geq 0}\frac{t^{n+1}}{n+1}$$

Es decir,

$$-\ln(1-t)=\sum_{n\geq 0}\frac{t^{n+1}}{n+1}$$

O bien: ($u=-t$)

$$\ln(1+u)=\sum_{m\geq 1}\frac{(-1)^m.u^m}{m}$$

-->24:20 SI $F_{N}'\rightrightarrows G$ en $[-r,r]$, entonces $F'(x)=\lim_{ N \to \infty }F_{N}'(x)$ i.e.:

$$\frac{1}{(1-x)^{2}}=\lim_{ N \to \infty } \left( \sum_{n=0}^{N} x^n \right)'=\lim_{ N \to \infty } \sum_{n=0}^{N} n.x^{n-1}=\sum_{m\geq 0}(m+1).x^m$$

Notar:

$$F_{N}'(x)=\sum_{n=0}^{N} n.x^{n-1}$$

Acotamos $|n.x^{n-1}|\leq n.r^{n-1}$

$$\sum_{n\geq 1}\underbrace{n.r^{n-1}}_{a_{n} } <+\infty$$

pues (D'Alembert)

$$\lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} }=\lim_{ n \to \infty } \frac{(n+1).r^n}{n.r^{n-1}}=\lim_{ n \to \infty } \frac{(n+1).r}{n}=r<1$$

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Citas y Comentarios

La normal implica la absoluta. D'Alembert implica Cauchy. Jueves borrón y cuenta nueva. Veremos teoría de la integración moderna. Ref: Franks, cap II.