#17Sucesiones y Series de funciones

17 - Sucesiones y series de funciones I

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SSThu-31-10-2024 09:55 profe: Nicolás Sirolli status: tags: Sucesiones y Series de funciones

Sucesión de funciones

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

Sean X conjunto, (Y,d) espacio meˊtrico, f∈YX (fn)⊆YX:- (fn) converge puntualmente a f si ∀x∈X,∀E>0, ∃ n0:d(fn(x),f(x))<E∀n≥n0Es decir, fn→f en (Y,d)- (fn) converge uniformemente a f si:(∀E>0)( ∃ n0∈N) ∣ d(fn(x),f(x))<E∀n≥n0,∀x∈X\begin{array}{l} \text{Sean $X$ conjunto, $(Y,d)$ espacio métrico, $f\in Y^{X}$ $(f_{n})\subseteq Y^{X}$:}\\\\ \text{- $(f_{n})$ converge puntualmente a $f$ si $\forall x \in X,\forall\mathcal{E}>0,\:\exists\:n_{0}:$}\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad d(f_{n}(x),f(x))<\mathcal{E}\quad \forall n\geq n_{0}\\ \text{Es decir, $f_{n}\to f$ en $(Y,d)$} \\\\ \text{- $(f_{n})$ converge uniformemente a $f$ si:}\\ (\forall\mathcal{E}>0)(\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N})\:|\: \quad d(f_{n}(x),f(x))<\mathcal{E}\quad \forall n\geq n_{0},\forall x \in X \end{array}

Not. :{\color{Cyan} \text{Not. :} }

fn⇉f en X\begin{array}{l} \text{$f_{n}\rightrightarrows f$ en $X$} \end{array}

Obs:Obs: Converge uniformemente   ⟹  \implies Converge puntualmente

Ejemplos:Ejemplos:
  1. X=[0,1],fn(x)=xnX=[0,1],f_{n}(x)=x^n Si
f(x)={00≤x<11ccf(x)=\begin{cases} 0 & 0\leq x<1 \\ 1 & cc \end{cases}

Entonces (fn)(f_{_{n}}) convergente puntualmente a ff.

draw-normadosIII-1

  1. Fijo R>0,X=[−R,R],Y=RR>0,X=[-R,R],Y=\mathbb{R}
fn(x)=n+1n.x,f(x)=xf_{n} (x)=\frac{n+1}{n}.x,\quad f(x)=x

Así, fn(x)→f(x)∀xf_{n}(x)\to f(x)\quad\forall x Más aún,

∣fn(x)−f(x)∣=∣cn+1nx−x∣=∣x∣.1n≤∣x∣≤RRn<E|f_{n} (x)-f(x)|=|\frac{cn+1}{n}x-x|=|x|.\frac{1}{n}\underset{|x|\leq R}{\leq} \frac{R}{n}<\mathcal{E}

Si n≥⌈ER⌉=n0n\geq \left\lceil \frac{\mathcal{E}}{R} \right\rceil=n_{0}, así fn(x)⇉f(x)f_{n}(x) \rightrightarrows f(x)

draw-normadosIII-2

  1. Idem (2), con X=RX=\mathbb{R}
fn(X)→f(x), pero fn⇉̸ff_{n} (X)\to f(x),\text{ pero }f_{n} \not\rightrightarrows f

Obs:Obs:

fn⇉̸f en X  ⟺  ( ∃ E>0)(∀n0∈N)( ∃ n≥n0)( ∃ x∈X)d(fn(x),f(x))≥Ef_{n} \not\rightrightarrows f\:en\:X\iff(\:\exists\:\mathcal{E}>0)(\forall n_{0}\in \mathbb{N})(\:\exists\:n\geq n_{0})(\:\exists\:x \in X)\quad d(f_{n} (x),f(x))\geq \mathcal{E}   ⟺  ( ∃ E>0) ∃ (fnk),(xk) con d(fnk(xk),f(xk))≥E\iff(\:\exists\:\mathcal{E}>0)\:\exists\:(f_{n_{k}} ),(x_{k})\:con\:d(f_{n_{k}}(x_{k}),f(x_{k}) )\geq \mathcal{E}

Ej.3: E=1\mathcal{E}=1, dado n0n_{0}, tomo x=n0,x=n_{0}, así ∣x+1xx−x∣=1|\frac{x+1}{x}x-x|=1

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

X,Y espacios meˊtricos. (fn)⊆YX con fn⇉f∈YXSi fn es (unif. ) continua ∀n  ⟹   f es (unif. ) continua. \begin{array}{l} \text{$X,Y$ espacios métricos. $(f_{n})\subseteq Y{^X}$ con $f_{n}\rightrightarrows f\in Y{^X}$}\\ \text{Si $f_{n}$ es (unif. ) continua $\forall n\implies$ $f$ es (unif. ) continua. } \end{array}

Luego, en el ej. 1, fn⇉̸ff_{n}\not\rightrightarrows f.

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} }

d(f(y),f(x))≤d(f(y),fn0(y))+d(fn0(y),fn0(x))+d(fn0(x),f(x))d(f(y),f(x))\leq d(f(y),f_{n_{0}} (y))+d(f_{n_{0}}(y),f_{n_{0}}(x) )+d(f_{n_{0}}(x),f(x) )

Dado E>0,\mathcal{E}>0, tomo:

  • n0∈Nn_{0}\in \mathbb{N} tal que d(fn0(z),f(z))<E3∀z∈X(fn⇉f)d(f_{n_{0}}(z),f(z))< \frac{\mathcal{E}}{3}\quad\forall z\in X(f_{n}\rightrightarrows f)
  • δ>0\delta>0 tal que d(y,x)<δ  ⟹  d(fn0(y),fn0(x))<E3d(y,x)<\delta \implies d(f_{n_{0}}(y),f_{n_{0}}(x))< \frac{\mathcal{E}}{3} (fn0f_{n_{0}} es continua en XX). Así, d(y,x)<δ  ⟹  d(f(y),f(x))<E3+E3+E3=Ed(y,x)<\delta \implies d(f(y),f(x))< \frac{\mathcal{E}}{3}+\frac{\mathcal{E}}{3}+\frac{\mathcal{E}}{3}=\mathcal{E}
□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

(fn)⊆C([a,b]),fn⇉f. Entonces:\begin{array}{c} \text{$(f_{n})\subseteq C([a,b]),f_{n}\rightrightarrows f$. Entonces:} \end{array} ∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∫abfn(x) dx\int_{a}^{b} f(x) \, dx=\underset{ n \to \infty}{\lim}\int_{a}^{b} f_{n}(x) \, dx

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} }

∣∫abf(x) d−∫abfn(x) dx∣≤∫ab∣f(x)−fn(x)∣ dx|\int_{a}^{b} f(x) \, d-\int_{a}^{b} f_{n} (x) \, dx |\leq \int_{a}^{b} |f(x)-f_{n} (x)| \, dx

Dado E>0,\mathcal{E}>0, tomo n0∈Nn_{0}\in \mathbb{N} con ∣fn(x)−f(x)∣≤E2(b−a)∀x∈[a,b]|f_{n}(x)-f(x)|\leq \frac{\mathcal{E}}{2(b-a)}\quad\forall x \in[a,b] Así, si n≥n0:n\geq n_{0}:

∣∫abf(x) dx−∫abfn(x) dx∣≤∫abE2(b−a) dx=E2<E|\int_{a}^{b} f(x) \, dx -\int_{a}^{b} f_{n} (x) \, dx |\leq \int_{a}^{b} \frac{\mathcal{E}}{2(b-a)} \, dx = \frac{\mathcal{E}}{2}<\mathcal{E} □\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

(fn)n∈N⊆C([a,b]) con fn(x)→f(x) puntualmente.Supongo fn derivable, y  ∃ g con fn′⇉gEntonces f es derivable y ∀x:(lim⁡n→∞fn(x))′=f′(x)=g(x)=lim⁡n→∞fn′(x)\begin{array}{l} \text{$( f_n )_{n \in \mathbb{N} }\subseteq C([a,b])$ con $f_{n}(x)\to f(x)$ puntualmente.}\\ \text{Supongo $f_{n}$ derivable, y $\:\exists\:g$ con $f_{n}'\rightrightarrows g$}\\ \text{Entonces $f$ es derivable y $\forall x:$}\\ (\lim_{ n \to \infty }f_{n}(x))'=f'(x)=g(x)=\lim_{ n \to \infty } f_{n}'(x) \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Escribamos, dado xx

fn(x)=fn(a)+∫axfn′(t) dtf_{n}(x)=f_{n}(a)+\int_{a}^xf_{n}'(t)\:dt

Haciendo n→∞n\to \infty,

f(x)=f(a)+∫axg(t) dxf(x)=f(a)+\int_{a}^x g(t) \, dx

por la prop. anterior. Luego (TFC) f′(x)=g(x)f'(x)=g(x)

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

X conjuntoB(X)={f:X→R con f acotada} es un espacio normado, con:∥f∥∞=supx∈X∣f(x)∣∈R≥0\begin{array}{l} \text{$X$ conjunto}\\ \text{$\mathcal{B}(X)=\{ f:X\to \mathbb{R}\:con\: f\:acotada \}$ es un espacio normado, con:}\\\\ \left\| f \right\|_{\infty} =\underset{x \in X}{sup}|f(x)|\quad \in \mathbb{R}_{\geq 0} \end{array}

Def. :{\color{Cyan} \text{Def. :} }

X espacio normado, Cb(X)={f∈B(X):f continua} es un espacio normado con ∥∥∞ heredada de B(X).\begin{array}{l} \text{$X$ espacio normado, $C_{b}(X)=\{ f\in \mathcal{B}(X):f\:continua \}$ es un espacio normado}\\ \text{ con $\left\| \right\|_\infty$ heredada de $\mathcal{B}(X)$.} \end{array}

-->06:30

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

(fn)n∈N⊆B(X),f∈B(X).fn⇉f  ⟺  ∥fn−f∥∞→0\begin{array}{l} \text{$( f_n )_{n \in \mathbb{N} }\subseteq \mathcal{B}(X),f \in \mathcal{B}(X)$.}\\ \\ f_{n}\rightrightarrows f\iff \left\| f_{n}-f \right\|_\infty \to 0 \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} }

fn⇉f  ⟺  ∀E>0 ∃ n0∀n≥n0:∣fn(x)−f(x)∣<E∀x∈Xf_{n}\rightrightarrows f\iff\forall\mathcal{E}>0\:\exists\:n_{0}\forall n\geq n_{0}:|f_{n}(x)-f(x)|<\mathcal{E}\quad \forall x \in X

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

(fn)⊆C([0,1]),fn⇉f entonces: \begin{array}{l} \text{$(f_{n})\subseteq C([0,1]),f_{n}\rightrightarrows f$ entonces: } \end{array} ∫f=lim⁡n→∞∫fn\int f=\lim_{ n \to \infty }\int f_{n}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} }

Φ:(C([0,1]),∥∥∞)→R\Phi:(C([0,1]),\left\| \right\|_\infty)\to \mathbb{R}

Φ(g)=∫01g dx es continua\Phi(g)=\int_{0}^1 g \, dx \text{ es continua}

Como f=lim fnf=lim\:f_{n} en (C([0,1]),∥∥∞)(C([0,1]),\left\| \right\|_\infty)

Φ(f)=lim Φ(fn)\Phi(f)=lim\:\Phi(f_{n}) □\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

X espacio meˊtrico. Entonces Cb(X)⊆B(X) es cerrado.\begin{array}{l} \text{$X$ espacio métrico. Entonces $C_{b}(X)\subseteq\mathcal{B}(X)$ es cerrado.} \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Sea (fn)n∈N⊆Cb(X),f∈B( f_n )_{n \in \mathbb{N} }\subseteq C_{b}(X),f \in\mathcal{B} con fn→ff_{n}\to f en ∥∥∞\left\| \right\|_\infty. Como fn⇉f,ff_{n}\rightrightarrows f,f es continua. Es decir, f∈Cb(X)f \in C_{b}(X)

□\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Teorema :{\color{violet} \text{Teorema :} }

X espacio meˊtrico. Entonces:1. B(X) es Banach.2. Cb(X) es Banach.\begin{array}{l} \text{$X$ espacio métrico. Entonces:}\\ \text{1. $\mathcal{B}(X)$ es Banach.}\\ \text{2. $C_{b}(X)$ es Banach.} \end{array}

Dem:{\color{violet} \text{Dem:} } Por la propiedad anterior (1)  ⟹  (2)(1)\implies(2) Veamos (2)  ⟹  (1):(2)\implies(1): Sea (fn)⊆B(X)(f_{n})\subseteq\mathcal{B}(X) de Cauchy. Veamos que (∀x∈X)(fn(x))⊆R(\forall x \in X)(f_{n}(x))\subseteq \mathbb{R} es de Cauchy.

∣fn(x)−fm(x)∣≤∥fn−fm∥∞→0 cuando n,m→∞|f_{n}(x)-f_{m}(x)|\leq \left\| f_{n}-f_{m} \right\|_\infty \to 0 \text{ cuando }n,m\to \infty

Luego, como R\mathbb{R} completo.

∀x ∃ lim⁡n→∞fn(x)=:f(x)\forall x\:\exists\:\lim_{ n \to \infty } f_{n}(x)=:f(x)

Veamos que f∈B(X)f\in\mathcal{B}(X) y que

fn⇉ff_{n}\rightrightarrows f ∣fn(x)∣≤∣fn(x)−fn0(x)∣+∣fn0(x)∣≤∥fn−fn0∥∞+∥fn0∥∞≤1+∥fn0∥∞|f_{n}(x)|\leq |f_{n}(x)-f_{n_{0}}(x)|+|f_{n_{0}}(x)|\leq \left\| f_{n}-f_{n_{0}} \right\|_\infty +\left\| f_{n_{0}} \right\|_\infty \leq 1+\left\| f_{n_{0}} \right\|_\infty

Así, si n→∞:n\to \infty:

∣f(x)∣≤1+∥fn0∥∞|f(x)|\leq 1+\left\| f_{n_{0}} \right\|_\infty

Luego ff está acotada.

Sea E>0\mathcal{E}>0. Tomo n0n_{0}

∥fn−fm∥∞≤E2∀n,m≥n0\left\| f_{n}-f_{m} \right\|_\infty \leq \frac{\mathcal{E}}{2}\quad \forall n,m\geq n_{0}

Así, ∀n,m≥n0:\forall n,m\geq n_{0}:

∣fn(x)−fm(x)∣≤E2|f_{n}(x)-f_{m}(x)|\leq \frac{\mathcal{E}}{2}

Haciendo m→∞m\to \infty

∣fn(x)−f(x)∣≤E2∀x,∀n≥n0|f_{n}(x)-f(x)|\leq \frac{\mathcal{E}}{2}\quad \forall x,\forall n\geq n_{0}

Así,

∥fn−f∥∞≤E2<E∀n≥n0\left\| f_{n}-f \right\|_\infty \leq \frac{\mathcal{E}}{2}<\mathcal{E}\quad \forall n\geq n_{0} □\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square

Citas y Comentarios

  1. Probar que lo siguiente es un espacio normado:
B(X)={f:X→R con f acotada}\mathcal{B}(X)=\{ f:X\to \mathbb{R}\:con\: f\:acotada \}
  1. La próxima veremos series de funciones. Abbott 6.4

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