Thu-25-09-2025 11:17 profe: Cecilia De Vita status: tags:

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Ejercicio 1

Sea $(E,d)$ un espacio métrico y sea $( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq E$ tal que $a_{n} \longrightarrow a \in E$ . Si $A=\{ a_{n}:n\in \mathbb{N} \}$, probar que $A'=\{ a \}$ o $A'=\emptyset$ .

$Sol_{}:$ Mi único candidato a ser de acumulación es $a.$ Siempre y cuando $a\neq a_{n}$ para todo $n.$ Entonces solo hay que probar que o es $\{ a \}$ o es $\emptyset.$

Si $\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N}$ tal que $a_{n}=a\quad\forall n\geq n_{0}$, entonces $A'=\emptyset.$ Supongamos que no $(*)$ , quiero ver que $A'=\{ a \}$ Vale que $\{ a \}\subseteq A'$ , pues $a_{n}\longrightarrow a$ y vale $(*).$

Supongamos que existe $b \in A',b\neq a$

$$b \in A'\iff \forall r>0,B(b,r) \cap A \text{ es infinito}$$

Considero $r=d(b,a)$. Como $a_{n}\to a$ $\:\exists\:n_{0} \in \mathbb{N}$ tal que $d(a_{n},a)<\frac{r}{2}\quad\forall n\geq n_{0}$
Como $b \in A'$ , $B(b,r)\cap A$ es infinito Esto es, $\:\exists\: ( a_{n_{k}} )_{k \in \mathbb{N}}$ tal que $a_{n_{k}} \in B\left( b,\frac{r}{2} \right)\quad\forall k$ Sé que $\:\exists\:k_{0} \in \mathbb{N}\bigm|n_{k_{0}}\geq n_{0}$ Entonces, si $n_{k}\geq n_{k_{0}}:$

$$r=d(a,b)\leq d(a,a_{n_{k}})+d(a_{n_{k}},b)<r$$

Absurdo. Luego, debe ser que $A'=\{ a \}$

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Ejercicio 2

Sea $k \in \mathbb{N}$ y $(\mathbb{R}^{k},d_{2})$ espacio métrico. Sea $( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}^{k}$ y $a \in \mathbb{R}^{k}$. Notar que

$$a_{n}=(a_{n}^{(1)} ,a_{n}^{(2)} ,\dots,a_{n}^{(k)} )\quad ;\quad a=(a ^{(1)} ,a ^{(2)} ,\cdots,a ^{(k)} )$$

Probar que $a_{n} \overset{ d_{2} }{ \longrightarrow } a \iff a_{n}^{(i)}\overset{ |\cdot| }{ \longrightarrow } ^{a(i)}\quad\forall{1}\leq i\leq k$

$Dem:$ $\implies)$ Sea $1\leq i\leq k:|a_{n}^{(i)}-a ^{(i)}|$

En $\mathbb{R}^{k}$ las métricas son equivalentes. Lo relaciono con la distancia infinito.

$$0 \leq |a_{n}^{(i)}-a ^{(i)}| \leq \underset{ i }{ max } \: |a_{n}^{(i)}-a ^{(i)}|=d_{\infty}(a_{n},a)\overset{ \text{por ej de la guia} }{ \leq } d_{2}(a_{n},a) \underset{ \text{por hip.} }{ \longrightarrow } 0$$

Así $|a_{n}^{(i)}-a ^{(i)}| \longrightarrow 0 \quad\forall 1\leq i\leq k$

$\impliedby)$ Ahora sé que $|a_{n}^{(i)}-a ^{(i)}|\longrightarrow 0 \quad\forall 1\leq i\leq k$ Quiero ver que $d_{2}(a_{n},a) \longrightarrow 0$

$$0\leq d_{2}(a_{n},a) \leq k \cdot d_{\infty}(a_{n},a) =k \cdot |a_{n}^{(i_{0})}-a ^{(i_{0})}| \longrightarrow 0$$

Así, $a_{n} \overset{ d_{2} }{ \longrightarrow } a$

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Ejercicio 3

Sea $( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq C([0,1])$ tal que $f_{n} \overset{ d_{\infty} }{ \longrightarrow } f$ Probar que $f_{n}(x)\longrightarrow f(x)$ para todo $x \in[0,1]$

$Dem:$ Sea $x \in[0,1]$

$$0\leq |f_{n}(x)-f(x)|\leq \underset{ x \in[0,1] }{ max }\:|f_{n}(x)-f(x)|=d_{\infty}(f_{n},f) \underset{ \text{por hip.} }{ \longrightarrow } 0$$

Vale la vuelta? Es decir, si $f_{n}(x)\longrightarrow f (x)\quad\forall x \in[0,1]\implies f_{n} \longrightarrow f$ No, contraejemplo: Considero $f_{n}(x)=x^{n}$. Notar que $( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq C([0,1])$ pues $f_{n}$ es un polinomio $\forall n \in \mathbb{N}$ Sea $x \in[0,1],$ tenemos que

$$f_{n}(x)=\begin{cases} 0 & 0\leq x<1 \\ 1 & x=1 \end{cases}$$

Es cierto que $f_{n} \overset{ d_{\infty} }{ \longrightarrow } f$ ? No, ni siquiera tiene sentido porque $f \not\in C([0,1])$
Notar que

$$d_{\infty}(f_{n},f) =\underset{ x \in[0,1] }{ max }\:|f_{n}(x)-f(x)|=\underset{ x \in[0,1) }{ max }\: |x^{n} | \quad \:\not\exists\:$$

El límite puntual de funciones continuas puede no ser continuo.

¿Qué sucede si utilizamos $d_{1}$, con $f_{n}(x)=x^{n}$ ?

$$d_{1}(f_{n},0)=\int_{0}^{1} |f_{n}(x)-0| \, dx =\int_{0}^{1} x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1} }{n+1}\bigm|_{0}^{1} =\frac{1}{n+1} \longrightarrow 0$$

Esto me dice que $d_{1}$ y $d_{\infty}$ no son equivalentes en $C([0,1])$

Pregunta: Si $( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq C([0,1])$ y $f \in C([0,1])$ son tales que $f_{n}(x)\longrightarrow f(x) \quad\forall \in[0,1]$. Vale que $f_{n} \overset{ d_{\infty} }{ \longrightarrow } f?$

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