Thu-09-10-2025 16:05 profe: Pablo Turco - Cecilia De Vita | Leonard Ehrhorn - Tomer Damián Cohen Mizrahi - Iván Moyano Tassara
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Ejercicio 1

Sean $(X,d)$ y $(Y,d')$ espacios métricos. Consideramos el espacio $X\times Y=\{ (x,y):x \in X,y \in Y \}$ con la métrica $\tilde{d}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=max \{ d(x_{1},x_{2}),d'(y_{1},y_{2}) \}$

a) Probar que las proyecciones $\Pi_{1}:X\times Y \to X\bigm|(x,y)\mapsto x$ y $\Pi_{2}:X \times Y\to Y\bigm|(x,y)\mapsto y$ son continuas y abiertos. Mostrar con un ejemplo que pueden no ser cerrados.

b)Sea $(z,d'')$ un espacio métrico y sea $f:Z\to X \times Y$ una función. Probar que $f$ es continua si y solo si $\Pi_{1}\circ f$ y $\Pi_{2}\circ f$ lo son

a) Veámoslo para $\Pi_{1}$

• $\Pi_{1}$ es continua: Sea $\mathcal{E}>0$, tomo $\delta=\mathcal{E}$

$$\tilde{d}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))<\delta$$

Quiero ver que las imágenes son menores que epsilon.

$$d(\Pi_{1}(x_{1},y_{1}),\:\Pi_{1}(x_{2},y_{2}))=d(x_{1},x_{2})\leq max \{ d(x_{1},x_{2}),d(y_{1},y_{2}) \}= \tilde{d}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))<\mathcal{E}$$

• $\Pi_{1}$ es abierta Sea $u\subseteq X\times Y$ abierto. Quiero ver que $\Pi_{1}(u)\subseteq X$ es abierto.

Sea $u_{0} \in \Pi_{1}(u)$ quiero ver que existe $r$ tal que $B(u_{0},r)\subseteq\Pi_{1}(u)$
Sabemos que existe $y_{0} \in Y$ tal que $(x_{0},y_{0}) \in u$ y $x_{0}=\Pi_{1}(x_{0},y_{0})$ Como $u$ es abierto por hipótesis:

$$\:\exists\:\tilde{r}>0\bigm| B_{\tilde{d}}((x_{0},y_{0}),\tilde{r})\subseteq u\tag{1}$$

Tomo $r= \tilde{r}$ Veamos que $B_{d}(x_{0},\tilde{r})\subseteq\Pi_{1}(u)$ Busco $y \in Y$ talque $(x,y) \in u$ y $x=\Pi_{1}(x,y)$. Se cumple para cualquier $y \in Y$
Propongo $y=y_{0}.$ Veamos que $(x,y_{0})\in u$ por (1) alcanza con ver que $(x,y_{0}) \in B_{\tilde{d}}((x_{0},y_{0}),\tilde{r})$

$$\tilde{d}((x,y_{0}),(x_{0},y_{0}))=max \{ d(x,x_{0}),d'(y_{0},y_{0}) \}=d(x,x_{0})< \tilde{r}$$

$\Pi_{1}(u)$ resulta abierto.

b) $\implies)$ Como $f$ es continua, y además por a) $\Pi_{1}$ y $\Pi_{2}$ son continuas, se tiene que $\Pi_{1}\circ f$ y $\Pi_{2} \circ f$ son continuas por ser composición de continuas.

$\impliedby)$ Sea $\mathcal{E}>0.$ Tomo $\delta=min \{ d_{1},d_{2} \}$

Supongamos que $d''(z_{1},z_{2})<\delta.$ Quiero ver que $\tilde{d}(f(z_{1}))$

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Pasado con Gemini

Ejercicio: Sean $(X, d)$, $(Y, d')$ espacios métricos. Consideremos el espacio $X \times Y = \{(x,y): x \in X, y \in Y\}$ con la métrica definida como:

$$d_{2}((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = \max \{d(x_1, x_2), d'(y_1, y_2)\}$$

a) Probar que las proyecciones $\Pi_1: X \times Y \to X$ y $\Pi_2: X \times Y \to Y$ son continuas. 3. Abiertos. Cerrados. No es necesario.

b) Sea $(Z, d'')$ un espacio métrico. Probar que si $f: Z \to X \times Y$ es continua, si y solo si $\Pi_1 \circ f$ y $\Pi_2 \circ f$ lo son.

Tarea: a) Demostrarlo para $\Pi_1$. $\Pi_1$ continua: Sea $\epsilon > 0$. Tomamos $\delta = \epsilon$. Supongamos que $d_2((x_1, y_1), (x_2, y_2)) < \delta$. $d(\Pi_1(x_1, y_1), \Pi_1(x_2, y_2)) < \epsilon$. (Es Lipschitz de 2 con $d_1$). $d(x_1, x_2) = \max \{d(x_1, x_2), d'(y_1, y_2)\}$ $\le d_2((x_1, y_1), (x_2, y_2)) < \delta$. Así $\Pi_1$ es continua (y de hecho, es Lipschitz de 1).

• $\Pi_1$ abierta: Sea $U \subseteq X \times Y$ un conjunto abierto. Queremos probar que $\Pi_1(U) \subseteq X$ es abierto. Sea $x_0 \in \Pi_1(U)$. Entonces existe $y_0 \in Y$ tal que $(x_0, y_0) \in U$. Como $(x_0, y_0) \in U$ y $U$ es abierto, existe $r > 0$ tal que $B_{d_2}((x_0, y_0), r) \subseteq U$. Veamos que $B_d(x_0, r) \subseteq \Pi_1(U)$. Sea $x \in B_d(x_0, r)$. Queremos que $x \in \Pi_1(U)$. Esto significa que existe algún $y \in Y$ tal que $(x, y) \in U$. Propongamos $y = y_0$. Veamos que $(x, y_0) \in U$. Para esto, es suficiente ver que $(x, y_0) \in B_{d_2}((x_0, y_0), r)$. $d_2((x, y_0), (x_0, y_0)) = \max \{d(x, x_0), d'(y_0, y_0)\} = d(x, x_0) < r$. Luego $B_d(x_0, r) \subseteq \Pi_1(U)$ y por lo tanto $\Pi_1(U)$ es abierto.

Veamos que $\Pi_1$ puede no ser cerrada. Consideremos $(X, d) = (\mathbb{R}^2, d_2)$ y $C = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: xy = 1\}$. $C$ es cerrado. $\Pi_1(C) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, que no es cerrado.

b) $\Pi_1 \circ f$ y $\Pi_2 \circ f$ son continuas por ser composición de funciones continuas. Sea $\epsilon > 0$. Tomamos $\delta = \min \{\delta_1, \delta_2\}$. Supongamos que $d''(z_1, z_2) < \delta$. Queremos $d(f(z_1), f(z_2)) < \epsilon$. $d(f(z_1), f(z_2)) = \max \{d(x_1, x_2), d'(y_1, y_2)\}$ (si $f(z_1) = (x_1, y_1)$ y $f(z_2) = (x_2, y_2)$). Como $\Pi_1 \circ f: Z \to X$ es continua, existe $\delta_1 > 0$ tal que si $d''(z_1, z_2) < \delta_1 \implies d(\Pi_1(f(z_1)), \Pi_1(f(z_2))) < \epsilon$. Es decir $d(x_1, x_2) < \epsilon$. Como $\Pi_2 \circ f: Z \to Y$ es continua, existe $\delta_2 > 0$ tal que si $d''(z_1, z_2) < \delta_2 \implies d'(\Pi_2(f(z_1)), \Pi_2(f(z_2))) < \epsilon$. Es decir $d'(y_1, y_2) < \epsilon$.

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Ejercicio 2

Sea $\varphi: (C[0,1], d_\infty) \to (C[0,1], d_\infty)$ la función definida por

$$\varphi(f) = f^2.$$

Probar que $\varphi$ es continua pero no uniformemente continua.

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1. $\varphi$ es continua

Sea $(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq C[0,1]$ tal que $f_n \to f$ en $(C[0,1], d_\infty)$.

Queremos probar que $\varphi(f_n) \to \varphi(f)$, es decir,

$$d_\infty(\varphi(f_n), \varphi(f)) \to 0.$$

Por definición de $\varphi$,

$$d_\infty(\varphi(f_n), \varphi(f)) = d_\infty(f_n^2, f^2) = \max_{x \in [0,1]} |f_n^2(x) - f^2(x)|.$$

Observamos que

$$|f_n^2(x) - f^2(x)| = |f_n(x) - f(x)|\,|f_n(x) + f(x)|.$$

Como $(f_n)$ converge uniformemente a $f$, es una familia acotada.
Existe $M > 0$ tal que $|f_n(x)| \le M$ y $|f(x)| \le M$ para todo $n$ y todo $x \in [0,1]$.

Entonces,

$$|f_n(x) + f(x)| \le |f_n(x)| + |f(x)| \le 2M,$$

y por tanto

$$|f_n^2(x) - f^2(x)| \le 2M\,|f_n(x) - f(x)|.$$

Tomando máximo en $x$ obtenemos:

$$d_\infty(f_n^2, f^2) \le 2M\, d_\infty(f_n, f).$$

Como $d_\infty(f_n, f) \to 0$, se sigue que $d_\infty(f_n^2, f^2) \to 0$.
Por lo tanto, $\varphi$ es continua.

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2. $\varphi$ no es uniformemente continua

Probaremos que no existe $\delta > 0$ que sirva uniformemente para todo par de funciones.

Sea $\varepsilon = 1$. Consideremos las funciones constantes:

$$f_n(x) = n, \qquad g_n(x) = n + \frac{1}{n}, \quad \forall x \in [0,1].$$

Ambas pertenecen a $C[0,1]$. Calculamos:

$$d_\infty(f_n, g_n) = \max_{x \in [0,1]} |f_n(x) - g_n(x)| = \frac{1}{n} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0.$$

Sin embargo,

$$d_\infty(\varphi(f_n), \varphi(g_n)) = \max_{x \in [0,1]} |f_n^2(x) - g_n^2(x)| = |n^2 - (n + \tfrac{1}{n})^2| = |n^2 - (n^2 + 2 + \tfrac{1}{n^2})| = 2 + \tfrac{1}{n^2}.$$

Como $2 + \tfrac{1}{n^2} \ge 2$ para todo $n$, tenemos que

$$d_\infty(\varphi(f_n), \varphi(g_n)) \not\to 0.$$

Por lo tanto, $\varphi$ no es uniformemente continua en $(C[0,1], d_\infty)$.

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Conclusión:
La aplicación $\varphi(f) = f^2$ es continua en $(C[0,1], d_\infty)$, pero no es uniformemente continua.

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Ejercicio 3

Sea $(E, d)$ un e.m. y $A\subseteq E$. Para $z \in A^{c}$ definimos $f_z: A \to \mathbb{R}$ como $f_z(x) = \frac{1}{d(x, z)}$. Probar que $A$ es cerrado $\iff f_{z}$ es uniformemente continua $\forall z \in A^{c}$

$Dem:$ $\implies)$ Sea $z \in A^{c}$ y sea $\mathcal{E}>0$. Tomo $\delta=\mathcal{E}\cdot r^{2}$. Supongamos que $d(x,y)<\delta$. Quiero ver que $|f_{z}(x)-f_{y}(z)|<\mathcal{E}$

$$|f_{z}(x)-f_{y}(z)|=\left| \frac{1}{d(x,z)}-\frac{1}{d(y,z)} \right| =\left| \frac{d(y,z)-d(x,z)}{d(x,z)\cdot d(y,z)} \right| \leq$$

Por ej 10-a) práctica 3:

$$\leq \frac{d(x,y)}{d(x,z)\cdot d(y,z)}$$

Como $A$ es cerrado $\implies A^{c}$ es abierto. Luego $\:\exists\:r>0\bigm|B(z,r)\subseteq A^{c}$ Como $x,y \in A\implies d(x,z)\geq r$ y $d(y,z)\geq r$. (Pues si estuvieran en la bola, esta interseca con $A$)

$$\leq \frac{d(x,y)}{\underbrace{ d(x,z) }_{ \geq r }\cdot { \underbrace{ d(y,z) }_{ \geq r }} }\leq \frac{d(x,y)}{r^{2}}<\frac{\delta}{r^{2}}=\frac{\mathcal{E}\cdot r^{2}}{r^{2}}=\mathcal{E}$$

$r$ no depende de $x,y$. Solo de $z$.

$$\implies f_{z}\text{ es uniformemente continua}$$

De hecho, es Lipschitz con constante $\frac{1}{r^{2}}$.

$\impliedby)$ Alcanza con ver que $\overline{A} \subseteq A$. Sea $a \in \overline{A}$. Entonces existe una sucesión $(a_n) \subseteq A$ tal que $a_n \to a$. Quiero ver que $a \in A.$ Supongo que no, entonces $a \in A^{c}.$
Sé que $f_{z}$ es uniformemente continua.

Como $(a_n)$ converge, es de Cauchy. Para todo $\tilde{\delta} > 0$. Existe $n_{0} \in \mathbb{N}$ tal que para $m, n \ge n_{0} \implies d(a_n, a_m) < \tilde{\delta}$.

Sea $\mathcal{E}>0.$ Como $f_{a}$ es uniformemente continua entonces

$$\:\exists\:\delta>0\bigm| d(x,y)<\delta\implies |f_{a}(x)-f_{a}(y)|<\mathcal{E}$$

Tomo $\tilde{\delta}=\delta$. Luego, para cualquier $n\geq n_{0}$ vale $|f_{a}(a_{n})-f_{a}(a_{n_{0}})|<\mathcal{E}$ Pero

$$\mathcal{E}>|f_{a}(a_{n})-f_{a}(a_{n_{0}})|=\left| \frac{1}{d(a_{n},a)}-\frac{1}{d(a_{n_{0}},a)} \right| \geq \frac{1}{d(a_{n},a)}-\underbrace{ \frac{1}{d(a_{n_{0}},a)} }_{ cte }$$

Como $n\longrightarrow+\infty$ y

$$\mathcal{E}\geq \underset{ n\to \infty }{ \lim } \underbrace{ \underbrace{ \frac{1}{d(a_{n},a)} }_{ \to 0 }-\frac{1}{\underbrace{ d(a_{n_{0}},a }_{ = cte })} }_{ \longrightarrow +\infty }$$

Queda que $\mathcal{E}>+\infty.$ Absurdo. Entonces debe ser que $a \in A$ Por lo tanto $A$ es cerrado.

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