Sucesiones

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Wed-14-08-2024 20:59 status: tags: Análisis Avanzado

Definición de sucesión

Una sucesión es una función a:N→Ra:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} Notación (an)n∈N(a_n)_{n\in\mathbb{N}}

Definición de límite

Una sucesión (an)n∈N(a_n)_{n\in\mathbb{N}} de números reales converge a un número l∈Rl\in\mathbb{R} si ∀ϵ>0:∃n0∈N\forall \epsilon>0 :\exists n_0 \in \mathbb{N} tq:

∣an−l∣<ϵ,∀n≥n0|a_n-l|<\epsilon, \forall n\geq n_0 −ϵ<an−l<ϵ-\epsilon<a_n-l<\epsilon

Quiere decir que todos los términos de la sucesión caen en el intervalo centrado en ll y radio ϵ\epsilon

Ejemplo:

an=1/na_n = 1/\sqrt{n}

Veamos que si tiene limite y es l=0l=0 Asumo que ∃ϵ>0\exists \epsilon >0 y quiero ver que existe ese n0∈Nn_0\in \mathbb{N}

Limites a infinito Una sucesion (an)n∈N de numeros reales diverge (a +∞) si para todo M>0 existe un n0∈N tal que:an>M,∀n≥n0\\ \boxed{ \begin{array}{l} \text{\large \textbf{Limites a infinito} }\\ \text{Una sucesion $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de numeros reales diverge (a $+\infty$)}\\ \text{ si para todo $M>0$ existe un $n_0\in\mathbb{N}$ tal que:}\\ \\ \text{$a_n>M, \forall n\geq n_0$} \end{array} } \\

Esto quiere decir que toda barrera MM positiva que ponga la sucesión eventualmente la pasará.

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Sucesion acotadaUna sucesion (an)n∈N de numeros reales se dice acotadasi el conjunto A={an:n∈N} es acotado. Equivalentemente(para acotada): existe M>0 tal que ∣an∣≥M para todo n∈N\\ \boxed{ \begin{array}{l} \text{\large \textbf{Sucesion acotada}}\\ \text{Una sucesion $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de numeros reales se dice $acotada$}\\ \text{si el conjunto $A=\{a_n:n\in\mathbb{N}\}$ es acotado. } \\ \text{Equivalentemente(para acotada): existe $M>0$ tal que $|a_n| \geq M $ para todo $n \in \mathbb{N}$} \end{array} } \\

Teorema

Si una sucesion es convergente, entonces es acotada.\text{Si una sucesion es $convergente$, entonces es $acotada$.}

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Sucesiones y supremo

Equivalencia 2Sea A⊂R un conjunto no vacio y acotado superiormente y sea s∈R. Entonces s=Sup(A) sii s cumple: a”)s≥x para todo x∈Ab”)Existe una sucesion (an)n∈N⊂A tal que lim⁡n→∞an=s \\ \boxed{ \begin{array}{l} \text{\large \textbf{Equivalencia 2}}\\ \text{Sea $A\subset\mathbb{R}$ un conjunto no vacio y acotado superiormente y sea $s \in \mathbb{R}$. Entonces $s=Sup(A)$ sii $s$ cumple: }\\ \text{a'')$s\geq x $ para todo $x\in A$}\\ \text{b'')Existe una sucesion $(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \subset A$ tal que $ \lim_{n \to\infty} a_n=s$ } \end{array} } \\

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Citas y Comentarios

"Hay que practicar la definición de limite hasta que caiga la ficha"

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