Tue-24-06-2025 18:00
profe: Natalia Accomazzo Scotti
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E j e m p l o s : Ejemplos: E j e m pl os : Calcular ∫ − ∞ + ∞ 1 x 2 d μ \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} \, d\mu ∫ − ∞ + ∞ x 2 1 d μ
Sea f ( x ) = 1 x 2 f(x)=\frac{1}{x^{2}} f ( x ) = x 2 1 f n ( x ) = f ( x ) ⋅ X [ 1 , n ] ( x ) f_{n}(x)=f(x)\cdot\mathcal{X}_{[1,n]}(x) f n ( x ) = f ( x ) ⋅ X [ 1 , n ] ( x )
f n ( x ) ⟶ n → ∞ f ( x ) , f n ( x ) ≤ f n + 1 ( x ) ∀ x ∀ n ∈ N f_{n}(x)\underset{ n\to \infty }{ \longrightarrow }f(x)\quad ,f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\:\quad \forall x\quad \forall n\in \mathbb{N} f n ( x ) n → ∞ ⟶ f ( x ) , f n ( x ) ≤ f n + 1 ( x ) ∀ x ∀ n ∈ N Teorema de convergencia monótona.
⟹ ∫ 1 + ∞ f d μ = lim n → ∞ ∫ 1 + ∞ f n d μ \implies \int_{1} ^{+\infty} f \, d\mu =\underset{ n\to \infty }{ \lim } \int_{1} ^{+\infty} f_{n} \, d\mu ⟹ ∫ 1 + ∞ f d μ = n → ∞ lim ∫ 1 + ∞ f n d μ ∫ 1 + ∞ 1 x 2 ⋅ X [ 1 , n ] ( x ) d μ = ∫ 1 n 1 x 2 d μ = integrable Riemann − 1 x ∣ 1 n = 1 − 1 n ⟶ n → ∞ 1 \int_{1} ^{+\infty} \frac{1}{x^{2}}\cdot\mathcal{X}_{_{[1,n]}} (x)\, d\mu=\int_{1} ^{n} \frac{1}{x^{2}} \, d\mu \underset{ \text{integrable Riemann} }{ = }\left. -\frac{1}{x} \right|_{1}^{n}=1-\frac{1}{n}\underset{ n\to \infty }{ \longrightarrow }1 ∫ 1 + ∞ x 2 1 ⋅ X [ 1 , n ] ( x ) d μ = ∫ 1 n x 2 1 d μ integrable Riemann = − x 1 1 n = 1 − n 1 n → ∞ ⟶ 1 Tarea: Calcular
∫ 1 + ∞ 1 x p d μ , p ∈ R \int_{1} ^{+\infty} \frac{1}{x^{p} } \, d\mu ,\: p \in \mathbb{R} ∫ 1 + ∞ x p 1 d μ , p ∈ R Converge cuando p > 0 p>0 p > 0
∫ 0 1 1 x p d x , p ∈ R (Converge cuando p < 0 ) \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p} } \, dx\:,\:p \in \mathbb{R}\text{ (Converge cuando }p<0) ∫ 0 1 x p 1 d x , p ∈ R (Converge cuando p < 0 ) Lema {\color{green} \text{Lema } } Lema
Sean ( f n ) : E → [ 0 , + ∞ ] medibles, f n ≤ f n + 1 . f = lim n → ∞ f n . Si φ es simple, 0 ≤ φ ≤ f . Entonces: ∫ E φ d μ ≤ lim n → ∞ ∫ f n d μ \begin{array}{c}
\text{Sean $(f_{n}):E\to[0,+\infty]$ medibles, $f_{n}\leq f_{n+1}$. $f=\underset{ n\to \infty }{ \lim }f_{n}$ . }\\
\text{Si ${\Large\varphi}$ es simple, $0\leq {\Large\varphi}\leq f$. Entonces:}\\
\displaystyle \int_{E} {\Large\varphi} \, d\mu \leq \underset{ n\to \infty }{ \lim } \int_{} f_{n} \, d\mu
\end{array} Sean ( f n ) : E → [ 0 , + ∞ ] medibles, f n ≤ f n + 1 . f = n → ∞ lim f n . Si φ es simple, 0 ≤ φ ≤ f . Entonces: ∫ E φ d μ ≤ n → ∞ lim ∫ f n d μ Dem: {\color{green} \text{Dem:} } Dem: φ {\Large\varphi} φ 0 ≤ φ ≤ f 0\leq {\Large\varphi}\leq f 0 ≤ φ ≤ f φ = ∑ i = 1 N α i ⋅ X E i {\Large\varphi}=\displaystyle \sum_{i=1}^{N}\alpha_{i}\cdot\mathcal{X}_{E_{i}} φ = i = 1 ∑ N α i ⋅ X E i 0 < α 1 < α 2 < ⋯ < α N 0<\alpha_{1}<\alpha_{2}<\dots<\alpha_{N} 0 < α 1 < α 2 < ⋯ < α N
Sea E > 0 ∣ 0 < E < α 1 \mathcal{E}>0\bigm|0<\mathcal{E}<\alpha_{1} E > 0 0 < E < α 1
( φ − E ) ( x ) = φ ( x ) − E = ∑ i = 1 N ( α i − E ) ⋅ X E i ( x ) ({\Large\varphi}-\mathcal{E})(x)={\Large\varphi}(x)-\mathcal{E}=\sum_{i=1}^{N} (\alpha_{i}-\mathcal{E})\cdot\mathcal{X}_{E_{i}} (x) ( φ − E ) ( x ) = φ ( x ) − E = i = 1 ∑ N ( α i − E ) ⋅ X E i ( x ) Es decir, φ − E {\Large\varphi}-\mathcal{E} φ − E φ − E ≥ 0 {\Large\varphi}-\mathcal{E}\geq0 φ − E ≥ 0
Sea
E n = { x ∈ E ∣ f n ( x ) > φ ( x ) − E } E_{n}=\{ x \in E\bigm| f_{n}(x)>{\Large\varphi}(x)-\mathcal{E} \} E n = { x ∈ E f n ( x ) > φ ( x ) − E } E n E_{n} E n f n − φ f_{n}-{\Large\varphi} f n − φ
x ∈ E n ⟹ f n ( x ) > φ ( x ) − E x \in E_{n}\implies f_{n}(x)>{\Large\varphi}(x)-\mathcal{E} x ∈ E n ⟹ f n ( x ) > φ ( x ) − E f n + 1 ( x ) ≥ f n ( x ) > φ ( x ) − E ⟹ x ∈ E n + 1 f_{n+1}(x)\geq f_{n}(x)>{\Large\varphi}(x)-\mathcal{E}\implies x \in E_{n+1} f n + 1 ( x ) ≥ f n ( x ) > φ ( x ) − E ⟹ x ∈ E n + 1 ⟹ E n ⊆ E n + 1 \implies E_{n}\subseteq E_{n+1} ⟹ E n ⊆ E n + 1 E = ⋃ n ∈ N E n \displaystyle E=\bigcup_{n \in \mathbb{N}}E_{n} E = n ∈ N ⋃ E n ⊆ ) \subseteq) ⊆ ) x ∈ E , lim n → ∞ f n ( x ) = f ( x ) ≥ φ ( x ) x \in E,\underset{ n\to \infty }{ \lim }f_{n}(x)=f(x)\geq {\Large\varphi}(x) x ∈ E , n → ∞ lim f n ( x ) = f ( x ) ≥ φ ( x )
⟹ ∃ n 0 ∣ f n 0 ( x ) > φ ( x ) − E ⟹ x ∈ E n 0 \implies \:\exists\:n_{0}\bigm| f_{n_{0}}(x)>{\Large\varphi}(x)-\mathcal{E}\implies x \in E_{n_{0}} ⟹ ∃ n 0 f n 0 ( x ) > φ ( x ) − E ⟹ x ∈ E n 0 Por continuidad de la medida, μ ( E ) = lim n → ∞ μ ( E n ) \mu(E)=\underset{ n\to \infty }{ \lim }\mu(E_{n}) μ ( E ) = n → ∞ lim μ ( E n )
Caso 1: μ ( E ) < ∞ \mu(E)<\infty μ ( E ) < ∞
∫ E f n d μ ≥ ∫ E n f n d μ ≥ ∫ E n φ − E d μ = ∫ E n φ d μ − E ⋅ μ ( E n ) \int_{E}f_{n} \, d\mu\geq \int_{E_{n}} f_{n} \, d\mu \geq \int_{E_{n}} {\Large\varphi}-\mathcal{E} \, d\mu =\int_{E_{n}} {\Large\varphi} \, d\mu -\mathcal{E}\cdot \mu(E_{n}) ∫ E f n d μ ≥ ∫ E n f n d μ ≥ ∫ E n φ − E d μ = ∫ E n φ d μ − E ⋅ μ ( E n ) ∫ E n φ d μ = ∫ E φ ⋅ X E n d μ = ∫ E φ ( X E − X E ∖ E n ) d μ = ∫ E φ d μ − ∫ E ∖ E n φ d μ \int_{E_{n}} {\Large\varphi} \, d\mu =\int_{E} {\Large\varphi}\cdot\mathcal{X}_{E_{n}} \, d\mu =\int_{E} {\Large\varphi}(\mathcal{X}_{E} -\mathcal{X}_{E\setminus E_{n}} ) \, d\mu =\int_{E} {\Large\varphi} \, d\mu -\displaystyle \int_{E \setminus E_{n}} {\Large\varphi} \, d\mu ∫ E n φ d μ = ∫ E φ ⋅ X E n d μ = ∫ E φ ( X E − X E ∖ E n ) d μ = ∫ E φ d μ − ∫ E ∖ E n φ d μ ∫ E ∖ E n φ d μ ≤ α N ⋅ μ ( E ∖ E n ) \int_{E \setminus E_{n}} {\Large\varphi} \, d\mu \leq \alpha_{N}\cdot \mu(E \setminus E_{n}) ∫ E ∖ E n φ d μ ≤ α N ⋅ μ ( E ∖ E n ) Como μ ( E ) < ∞ ⟹ μ ( E ∖ E n ) = μ ( E ) − μ ( E n ) ⟶ n → ∞ 0 \mu(E)<\infty\implies \mu(E \setminus E_{n})=\mu(E)-\mu(E_{n})\underset{ n\to \infty }{ \longrightarrow } 0 μ ( E ) < ∞ ⟹ μ ( E ∖ E n ) = μ ( E ) − μ ( E n ) n → ∞ ⟶ 0
∫ E f n d μ ≥ ∫ E φ d μ − α N ⋅ μ ( E ∖ E n ) ⟶ 0 − E ⋅ μ ( E n ) ⟶ μ ( E ) \int_{E} f_{n} \, d\mu \geq \int_{E} {\Large\varphi} \, d\mu -\alpha_{N}\cdot \underset{ \longrightarrow 0 }{ \mu(E \setminus E_{n}) }-\mathcal{E}\cdot \underset{ \longrightarrow \mu(E) }{ \mu(E_{n}) } ∫ E f n d μ ≥ ∫ E φ d μ − α N ⋅ ⟶ 0 μ ( E ∖ E n ) − E ⋅ ⟶ μ ( E ) μ ( E n ) ⟹ lim n → ∞ ∫ E f n d μ ≥ ∫ E φ d μ − E ⋅ μ ( E ) \implies \underset{ n\to \infty }{ \lim } \int_{E} f_{n} \, d\mu \geq \int_{E} {\Large\varphi} \, d\mu - \mathcal{E}\cdot \mu(E) ⟹ n → ∞ lim ∫ E f n d μ ≥ ∫ E φ d μ − E ⋅ μ ( E ) Como E > 0 \mathcal{E}>0 E > 0 ⟹ lim n → ∞ ∫ E f n d μ ≥ ∫ E φ d μ \implies \displaystyle\underset{ n\to \infty }{ \lim }\int_{E} f_{n} \, d\mu\geq \int_{E} {\Large\varphi} \, d\mu ⟹ n → ∞ lim ∫ E f n d μ ≥ ∫ E φ d μ
Caso 2: μ ( E n ) ⟶ + ∞ \mu(E_{n})\longrightarrow+\infty μ ( E n ) ⟶ + ∞
∫ E f n d μ ≥ ∫ E n f n d μ ≥ ∫ E n φ − E d μ ≥ ( α 1 − E ) ⏟ > 0 ⋅ μ ( E n ) ⟶ + ∞ \int_{E} f_{n} \, d\mu \geq \int_{E_{n}} f_{n} \, d\mu \geq \int_{E_{n}} {\Large\varphi}-\mathcal{E} \, d\mu \geq \underbrace{ (\alpha_{1}-\mathcal{E}) }_{ >0 }\cdot \mu(E_{n})\longrightarrow +\infty ∫ E f n d μ ≥ ∫ E n f n d μ ≥ ∫ E n φ − E d μ ≥ > 0 ( α 1 − E ) ⋅ μ ( E n ) ⟶ + ∞ ⟹ lim n → ∞ ∫ E f n d μ = + ∞ \implies \underset{ n\to \infty }{ \lim } \int_{E} f_{n} \, d\mu =+\infty ⟹ n → ∞ lim ∫ E f n d μ = + ∞ ⟹ ∫ E φ d μ ≤ lim n → ∞ ∫ E f n d μ = + ∞ \implies \int_{E} {\Large\varphi} \, d\mu \leq \underset{ n\to \infty }{ \lim } \int_{E} f_{n} \, d\mu =+\infty ⟹ ∫ E φ d μ ≤ n → ∞ lim ∫ E f n d μ = + ∞ Q.E.D. □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square Q.E.D. □ O b s : Obs: O b s :
f n ≤ f n + 1 ∀ n ⟹ ∫ E f n d μ ≤ ∫ E f n + 1 d μ f_{n}\leq f_{n+1}\quad\forall n\implies \int_{E} f_{n} \, d\mu \leq \int_{E} f_{n+1} \, d\mu f n ≤ f n + 1 ∀ n ⟹ ∫ E f n d μ ≤ ∫ E f n + 1 d μ ⟹ ∃ lim n → ∞ ∫ E f n d μ \implies \:\exists\:\underset{ n\to \infty }{ \lim } \int_{E} f_{n} \, d\mu ⟹ ∃ n → ∞ lim ∫ E f n d μ
Converge a un número o se va a + ∞ . +\infty. + ∞.
Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
Si f : E → [ 0 , + ∞ ] medible ⟹ ∫ E f d μ = 0 ⟺ f = 0 c t p \begin{array}{l}
\text{Si $f:E\to[0,+\infty]$ medible $\implies \displaystyle \int_{E} f \, d\mu=0\iff f=0\:ctp$ }
\end{array} Si f : E → [ 0 , + ∞ ] medible ⟹ ∫ E f d μ = 0 ⟺ f = 0 c tp Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem: ⟸ ) \impliedby) ⟸ )
⟹ ) \implies) ⟹ ) μ ( { f > 0 } ) = 0 \mu(\{ f>0 \})=0 μ ({ f > 0 }) = 0 { f > 0 } ∈ M \{ f>0 \}\in\mathcal{M} { f > 0 } ∈ M f f f μ ( { f > 0 } ) > 0 \mu(\{ f>0 \})>0 μ ({ f > 0 }) > 0
∫ E f d μ ≥ ∫ { f > 0 } f d μ ≥ 0 \int_{E} f \, d\mu \geq \int_{\{ f>0 \}} f \, d\mu \geq 0 ∫ E f d μ ≥ ∫ { f > 0 } f d μ ≥ 0 { f > 0 } = ⋃ n ∈ N { f ≥ 1 n } \{ f>0 \}=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}\left\{ f\geq \frac{1}{n} \right\} { f > 0 } = n ∈ N ⋃ { f ≥ n 1 } ⟹ ∃ n 0 ∣ μ ( { f ≥ 1 n 0 } ) > 0 \implies \:\exists\:n_{0}\bigm| \mu\left( \left\{ f\geq \frac{1}{n_{0}} \right\} \right)>0 ⟹ ∃ n 0 μ ( { f ≥ n 0 1 } ) > 0 Si no, μ ( { f > 0 } ) ≤ ∑ μ ( { f ≥ 1 n } ) = 0 \mu(\{ f>0 \})\leq \displaystyle \sum \mu\left( \left\{ f\geq \frac{1}{n} \right\} \right)=0 μ ({ f > 0 }) ≤ ∑ μ ( { f ≥ n 1 } ) = 0
⟹ ∫ E f d μ ≥ ∫ { f ≥ 1 n 0 } f d μ ≥ 1 n 0 ⋅ μ ( { f ≥ 1 n 0 } ) > 0 \implies \int_{E} f \, d\mu \geq \int_{\left\{ f\geq \frac{1}{n_{0}} \right\}} f \, d\mu \geq \frac{1}{n_{0}}\cdot \mu\left( \left\{ f\geq \frac{1}{n_{0}} \right\} \right)>0 ⟹ ∫ E f d μ ≥ ∫ { f ≥ n 0 1 } f d μ ≥ n 0 1 ⋅ μ ( { f ≥ n 0 1 } ) > 0 Q.E.D. □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square Q.E.D. □ Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
Sea ( a n ) n ∈ N ⊆ R . Defino el l ı ˊ mite inferior de ( a n ) lim . inf n → ∞ a n = lim ‾ n → ∞ a n = sup n ∈ N ( inf k ≥ n a k ) Defino el l ı ˊ mite superior de ( a n ) como: lim sup n → ∞ a n = lim ‾ n → ∞ a n = inf n ∈ N ( sup k ≥ n a k ) \begin{array}{l}
\text{Sea $( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}.$ }\\
\text{Defino el límite inferior de $(a_{n})$ }\\
\underset{ n\to \infty }{ \lim. \inf}\:\:a_{n}=\underset{ n\to \infty }{ \underline{ \lim } } a_{n}=\underset{ n\in \mathbb{N} }{ \sup }\:\left( \underset{ k\geq n }{ \inf }a_{k} \right)\\
\text{Defino el límite superior de $(a_{n})$ como:}\\
\underset{ n\to \infty }{ \lim \sup}\:\:a_{n}=\underset{ n\to \infty }{ \overline{ \lim } } a_{n}=\underset{ n\in \mathbb{N} }{ \inf }\:\left( \underset{ k\geq n }{ \sup }a_{k} \right)
\end{array} Sea ( a n ) n ∈ N ⊆ R . Defino el l ı ˊ mite inferior de ( a n ) n → ∞ lim . inf a n = n → ∞ lim a n = n ∈ N sup ( k ≥ n inf a k ) Defino el l ı ˊ mite superior de ( a n ) como: n → ∞ lim sup a n = n → ∞ lim a n = n ∈ N inf ( k ≥ n sup a k ) E j e m p l o : Ejemplo: E j e m pl o : a n = ( − 1 ) n ⟹ lim inf n → ∞ a n = − 1 , lim sup n → ∞ a n = 1 a_{n}=(-1)^{n}\implies \underset{ n\to \infty }{ \lim \inf}\:\:a_{n}=-1,\underset{ n\to \infty }{ \lim \sup}\:\:a_{n}=1 a n = ( − 1 ) n ⟹ n → ∞ lim inf a n = − 1 , n → ∞ lim sup a n = 1 O b s : Obs: O b s :
lim inf a n \lim\inf\:\:a_{n} lim inf a n lim sup a n \lim\sup\:\:a_{n} lim sup a n ± ∞ \pm \infty ± ∞ lim inf a n ≤ lim sup a n \lim\inf\:\:a_{n}\leq\lim\sup\:\:a_{n} lim inf a n ≤ lim sup a n lim inf ( − a n ) = sup n ( inf k ≥ n − a k ) = sup n ( sup k ≥ n a k ) = − inf n ( sup k ≥ n a k ) = − lim sup a n \lim\inf\:\:(-a_{n})=\underset{ n }{ \sup }\left( \underset{ k\geq n }{ \inf }-a_{k} \right)=\underset{ n }{ \sup }\left( \underset{ k\geq n }{ \sup }a_{k} \right)=-\underset{ n }{ \inf }\left( \underset{ k\geq n }{ \sup }a_{k} \right)=-\lim\sup\:\:a_{n} lim inf ( − a n ) = n sup ( k ≥ n inf − a k ) = n sup ( k ≥ n sup a k ) = − n inf ( k ≥ n sup a k ) = − lim sup a n lim inf a n = lim sup a n ⟺ ∃ lim a n \lim\inf\:\:a_{n}=\lim\sup\:\:a_{n}\iff \:\exists\:\lim a_{n} lim inf a n = lim sup a n ⟺ ∃ lim a n
lim n → ∞ a n = lim inf a n = lim sup a n \underset{ n\to \infty }{ \lim } a_{n}=\lim\inf\:\:a_{n}=\lim\sup\:\:a_{n} n → ∞ lim a n = lim inf a n = lim sup a n
b n = inf k ≥ n a k , b n ≤ b n + 1 b_{n}=\underset{ k\geq n }{ \inf }a_{k},\quad b_{n}\leq b_{n+1} b n = k ≥ n inf a k , b n ≤ b n + 1
⟹ lim inf a n = sup n ∈ N ( b n ) = lim n → ∞ b n \implies\lim\inf\:\:a_{n}=\underset{ n\in \mathbb{N} }{ \sup }(b_{n})=\underset{ n\to \infty }{ \lim } b_{n} ⟹ lim inf a n = n ∈ N sup ( b n ) = n → ∞ lim b n Lema de Fatou: {\color{green} \text{Lema de Fatou:} } Lema de Fatou:
Sea ( f n ) : E → [ 0 , + ∞ ] medibles. Entonces: ∫ E lim n → ∞ inf f d μ ≤ lim n → ∞ inf ∫ E f n d μ \begin{array}{l}
\text{Sea $(f_{n}):E\to[0,+\infty]$ medibles. Entonces:}\\
\displaystyle \int_{E} \underset{ n\to \infty }{ \lim } \inf f \, d\mu \leq \displaystyle \underset{ n\to \infty }{ \lim } \inf \int_{E} f_{n} \, d\mu
\end{array} Sea ( f n ) : E → [ 0 , + ∞ ] medibles. Entonces: ∫ E n → ∞ lim inf f d μ ≤ n → ∞ lim inf ∫ E f n d μ Dem: {\color{green} \text{Dem:} } Dem:
lim ‾ n → ∞ f n ( x ) = sup n ∈ N ( inf k ≥ n f k ( x ) ⏟ g n ( x ) ) \underset{ n\to \infty }{ \underline{\lim} }f_{n}(x)=\underset{ n \in \mathbb{N} }{ \sup }(\underbrace{ \underset{ k\geq n }{ \inf }\:f_{k}(x) }_{ g_{n}(x) }) n → ∞ lim f n ( x ) = n ∈ N sup ( g n ( x ) k ≥ n inf f k ( x ) )
Nos interesa la que es medible porque def. ∫ E d μ \int_{E} \, d\mu ∫ E d μ
Tomar ínfimo de funciones medibles es medible, y de la guía.
lim ‾ n → ∞ f n \underset{ n\to \infty }{ \underline{\lim} }f_{n} n → ∞ lim f n
g n ≥ 0 , g n ≤ g n + 1 g_{n}\geq 0,g_{n}\leq g_{n+1} g n ≥ 0 , g n ≤ g n + 1 x x x
sup n ∈ N g n ( x ) = lim n → ∞ g n ( x ) \underset{ n\in \mathbb{N} }{ \sup }\:g_{n}(x)=\underset{ n\to \infty }{ \lim } g_{n}(x) n ∈ N sup g n ( x ) = n → ∞ lim g n ( x )
Porque g n ( x ) g_{n}(x) g n ( x ) x x x
El teorema de la convergencia monótona dice
∫ E lim ‾ n → ∞ f n d μ = lim n → ∞ ∫ E g n ⏟ ≤ f n ( ∗ ) d μ \int_{E} \underset{ n\to \infty }{ \underline{\lim} } f_{n}\, d\mu=\underset{ n\to \infty }{ \lim } \int_{E} \underbrace{ g_{n} }_{ \leq f_{n}(*) } \, d\mu ∫ E n → ∞ lim f n d μ = n → ∞ lim ∫ E ≤ f n ( ∗ ) g n d μ
(*) pero no la puedo acotar de una porque no sé si existe lim ∫ E f n d μ \lim \int_{E} f_{n} \, d\mu lim ∫ E f n d μ ∫ g n \int g_{n} ∫ g n
= lim ‾ n → ∞ ∫ E g n ⏟ ≤ f n d μ ≤ lim ‾ n → ∞ ∫ E f n d μ =\underset{ n\to \infty }{ \underline{\lim} }\int_{E} \underbrace{ g_{n} }_{ \leq f_{n} } \, d\mu \leq \underset{ n\to \infty }{ \underline{\lim} }\int_{E} f_{n} \, d\mu = n → ∞ lim ∫ E ≤ f n g n d μ ≤ n → ∞ lim ∫ E f n d μ Q.E.D. □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square Q.E.D. □ Citas y Comentarios