Thu-07-11-2024 08:52
profe: Nicolás Sirolli
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tags: Teoria de la medida
Medida de Lebesgue
Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
Sea A ⊆ R . Decimos que es nulo si ∀ E > 0 ∃ ( I n ) n ∈ N familia de intervalos abiertos tal que: 1. A ⊆ ⋃ n ∈ N I n 2. ∑ n ∈ N l o n g ( I n ) < E \begin{array}{l}
\text{Sea $A\subseteq \mathbb{R}$. } \\
\text{Decimos que es nulo si $\forall \mathcal{E}>0\:\exists\:(I_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ familia de intervalos abiertos tal que:}\\
\text{1. $A\subseteq \bigcup_{n \in \mathbb{N}}I_{n}$}\\
\text{2. $\sum_{n \in \mathbb{N}}long(I_{n})<\mathcal{E}$}
\end{array} Sea A ⊆ R . Decimos que es nulo si ∀ E > 0 ∃ ( I n ) n ∈ N familia de intervalos abiertos tal que: 1. A ⊆ ⋃ n ∈ N I n 2. ∑ n ∈ N l o n g ( I n ) < E D o n d e l o n g ( I n ) = { b − a b ≥ a 0 b < a Donde \quad long(I_{n})=\begin{cases}
b-a & b\geq a \\
0 & b<a
\end{cases} D o n d e l o n g ( I n ) = { b − a 0 b ≥ a b < a E j e m p l o : Ejemplo: E j e m pl o : Sea A = { x 0 } A=\{ x_{0} \} A = { x 0 } E > 0 \mathcal{E}>0 E > 0 A 2 = ( x 0 − E 2 , x 0 + E 2 ) , A n = ∅ ∀ n ≥ 2 A_{2}=\left( x_{0}-\frac{\mathcal{E}}{2},x_{0}+\frac{\mathcal{E}}{2} \right),A_{n}=\emptyset \quad\forall n\geq2 A 2 = ( x 0 − 2 E , x 0 + 2 E ) , A n = ∅ ∀ n ≥ 2
Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
Si A es contable ⟹ A es nulo. \begin{array}{l}
\text{Si $A$ es contable $\implies$ $A$ es nulo.}
\end{array} Si A es contable ⟹ A es nulo. Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem: A = { a n } n ∈ N A=\{ a_{n} \}_{n\in \mathbb{N}} A = { a n } n ∈ N E > 0 \mathcal{E}>0 E > 0 B ( a n , E 2 n + 3 ) ⏟ I n ⟹ A ⊆ ⋃ n ∈ N I n \underset{I_{n}}{\underbrace{B\left( a_{n},\frac{\mathcal{E}}{2^{n+3}} \right)}}\implies A\subseteq \bigcup_{n \in \mathbb{N}}I_{n} I n B ( a n , 2 n + 3 E ) ⟹ A ⊆ ⋃ n ∈ N I n
∑ n ∈ N l o n g ( I n ) = ∑ n ∈ N E 2 n + 2 = E 4 ∑ n ∈ N 1 2 n = E 2 < E \sum_{n\in \mathbb{N}}long(I_{n})=\sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{\mathcal{E}}{2^{n+2}}=\frac{\mathcal{E}}{4}\sum_{n\in \mathbb{N}} \frac{1}{2^{n} } =\frac{\mathcal{E}}{2}<\mathcal{E} n ∈ N ∑ l o n g ( I n ) = n ∈ N ∑ 2 n + 2 E = 4 E n ∈ N ∑ 2 n 1 = 2 E < E □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
Sean ( A n ) n ∈ N nulos, entonces ⋃ n ∈ N A n = A es nulo. \begin{array}{l}
\text{Sean $(A_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ nulos, entonces $\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_{n}=A$ es nulo.}
\end{array} Sean ( A n ) n ∈ N nulos, entonces ⋃ n ∈ N A n = A es nulo. Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem: E > 0 \mathcal{E}>0 E > 0 ( A n ) n ∈ N ( A_{n} )_{n \in \mathbb{N}} ( A n ) n ∈ N ∃ ( I n , m ) m \:\exists\:(I_{n,m})_{m} ∃ ( I n , m ) m ∑ m l o n g ( I n , m ) < E 2 m + 1 \sum_{m}long(I_{n,m})<\frac{\mathcal{E}}{2^{m+1}} ∑ m l o n g ( I n , m ) < 2 m + 1 E A ⊆ ⋃ m , n ∈ N × N I n , m A\subseteq \underset{{m,n\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}}}{\bigcup}I_{n,m} A ⊆ m , n ∈ N × N ⋃ I n , m ∑ n ∈ N l o n g ( I n , m ) = ∑ n ∈ N ∑ m ∈ N l o n g ( I n , m ) ⏟ < E 2 m + 1 ≤ ∑ n ∈ N E 2 m + 1 = E 2 < E \sum_{n\in \mathbb{N}}long(I_{n,m})=\sum_{n\in \mathbb{N}}\underset{<\frac{\mathcal{E}}{2^{m+1}}}{\underbrace{\sum_{m\in \mathbb{N}}long(I_{n,m})}}\leq \sum_{n\in \mathbb{N}}\frac{\mathcal{E}}{2^{m+1}}=\frac{\mathcal{E}}{2}<\mathcal{E} ∑ n ∈ N l o n g ( I n , m ) = ∑ n ∈ N < 2 m + 1 E m ∈ N ∑ l o n g ( I n , m ) ≤ ∑ n ∈ N 2 m + 1 E = 2 E < E
□ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
X conjunto A ⊆ P ( X ) es una σ − a ˊ lgebra si: 1. X ∈ A 2. A ∈ A ⟹ A c ∈ A 3. A n ∈ A ⟹ ⋃ n ∈ N A n ∈ A \begin{array}{l}
\text{$X$ conjunto $\mathcal{A}\subseteq\mathcal{P}(X)$ es una $\sigma-$álgebra si:}\\
\text{1. $X \in \mathcal{A}$ }\\
\text{2. $A\in\mathcal{A}\implies A^{c}\in\mathcal{A}$}\\
\text{3. $A_{n}\in\mathcal{A}\implies \bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_{n}\in\mathcal{A}$ }
\end{array} X conjunto A ⊆ P ( X ) es una σ − a ˊ lgebra si: 1. X ∈ A 2. A ∈ A ⟹ A c ∈ A 3. A n ∈ A ⟹ ⋃ n ∈ N A n ∈ A E j e m p l o : Ejemplo: E j e m pl o : Fijo X : X: X :
A = P ( X ) \mathcal{A}=\mathcal{P}(X) A = P ( X ) σ − \sigma- σ − A = { X , ∅ } \mathcal{A}=\{ X,\emptyset \} A = { X , ∅ } σ − \sigma- σ − Sea B ⊆ X B\subseteq X B ⊆ X A = { X , ∅ , B , X ∖ B } \mathcal{A}=\{ X,\emptyset,B,X\setminus B \} A = { X , ∅ , B , X ∖ B } σ − \sigma- σ −
A = { B ⊆ X : # B ≤ ℵ 0 ∨ # ( X ∖ B ) ≤ ℵ 0 } \mathcal{A}=\{ B\subseteq X:\#B\leq \aleph_0\:\lor\:\#(X\setminus B)\leq \aleph_0 \} A = { B ⊆ X : # B ≤ ℵ 0 ∨ # ( X ∖ B ) ≤ ℵ 0 } σ − \sigma- σ −
Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
Sea B ⊆ P ( X ) . La σ − a ˊ l g e b r a generada por B es A = ⋂ B ⊆ A ′ , A ′ σ − a ˊ l g . A ′ \begin{array}{l}
\text{Sea $B\subseteq\mathcal{P}(X)$. La $\sigma-álgebra$ generada por $B$ es }\\
\mathcal{A}=\underset{B\subseteq A',A'\:\sigma-álg.}{\bigcap}A'
\end{array} Sea B ⊆ P ( X ) . La σ − a ˊ l g e b r a generada por B es A = B ⊆ A ′ , A ′ σ − a ˊ l g . ⋂ A ′ Def. : {\color{Cyan} \text{Def. :} } Def. :
La σ − a ˊ l g e b r a de Lebesgue es la generado por B = { ( a , b ) : a , b ∈ R } ∪ { A ⊆ R : A es nulo } y la notamos con M . \begin{array}{l}
\text{La $\sigma-álgebra$ de Lebesgue es la generado por $B=\{ (a,b):a,b\in \mathbb{R} \}\cup \{ A\subseteq \mathbb{R}:A\text{ es nulo} \}$}\\
\text{y la notamos con $\mathcal{M}$.}
\end{array} La σ − a ˊ l g e b r a de Lebesgue es la generado por B = {( a , b ) : a , b ∈ R } ∪ { A ⊆ R : A es nulo } y la notamos con M . O b s : Obs: O b s :
E j e m p l o s : Ejemplos: E j e m pl os :
[ a , b ) = { a } ∪ ( a , b ) [a,b)=\{ a \}\cup (a,b) [ a , b ) = { a } ∪ ( a , b ) R ∖ N ∈ M \mathbb{R}\setminus \mathbb{N}\in\mathcal{M} R ∖ N ∈ M N \mathbb{N} N ⟹ ∈ M \implies \in\mathcal{M} ⟹ ∈ M ⋃ n ∈ N [ n , n + 1 2 n ) ∈ M \bigcup_{n\in \mathbb{N}}\left[ n,_{n}+\frac{1}{2^{n}} \right)\in\mathcal{M} ⋃ n ∈ N [ n , n + 2 n 1 ) ∈ M
O b s : Obs: O b s : M ≠ P ( R ) \mathcal{M}\neq \mathcal{P}(\mathbb{R}) M = P ( R )
Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
1. G ∈ M ∀ G ⊆ R abierto. 2. F ∈ M ∀ F ⊆ R cerrado. \begin{array}{l}
\text{1. $G\in\mathcal{M}\quad\forall G\subseteq \mathbb{R}$ abierto.}\\
\text{2. $F\in\mathcal{M}\quad\forall F\subseteq \mathbb{R}$ cerrado.}
\end{array} 1. G ∈ M ∀ G ⊆ R abierto. 2. F ∈ M ∀ F ⊆ R cerrado. Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem: G G G ∃ ( I n ) n \:\exists\:(I_{n})_{n} ∃ ( I n ) n I n I_{n} I n G = ⋃ n ∈ N I n G=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}I_{n} G = ⋃ n ∈ N I n F = R ∖ ( R ∖ F ) ⏟ G ∈ M p o r 1 ⟹ F ∈ M F=\mathbb{R}\setminus \underset{G\in\mathcal{M}\:por\:1}{\underbrace{(\mathbb{R}\setminus F)}}\implies F\in\mathcal{M} F = R ∖ G ∈ M p or 1 ( R ∖ F ) ⟹ F ∈ M
□ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
Sean A , B ∈ A , c o n A σ − a ˊ l g e b r a : 1. A ∪ B ∈ M 2. Si A n ∈ M ∀ n ∈ N ⟹ ⋂ n ∈ N A n ∈ M 3. A ⋂ B ∈ M . \begin{array}{l}
\text{Sean $A,B\in\mathcal{A},con\:\mathcal{A}\:\sigma-álgebra$:}\\
\text{1. $A\cup B\in\mathcal{M}$ }\\
\text{2. Si $A_{n}\in\mathcal{M}\quad\forall n\in \mathbb{N}\implies \bigcap_{n\in \mathbb{N}}A_{n}\in\mathcal{M}$}\\
\text{3. $A\bigcap B\in\mathcal{M}$. }
\end{array} Sean A , B ∈ A , co n A σ − a ˊ l g e b r a : 1. A ∪ B ∈ M 2. Si A n ∈ M ∀ n ∈ N ⟹ ⋂ n ∈ N A n ∈ M 3. A ⋂ B ∈ M . Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem: A ∪ B = ⋃ n ∈ N A n A\cup B=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_{n} A ∪ B = ⋃ n ∈ N A n A 1 = A , A 2 = B A_{1}=A,A_{2}=B A 1 = A , A 2 = B A n = ∅ ∀ n ≥ 3 A_{n}=\emptyset \quad\forall n\geq3 A n = ∅ ∀ n ≥ 3 C = ⋂ n ∈ N A n C=\bigcap_{n\in \mathbb{N}}A_{n} C = ⋂ n ∈ N A n X ∖ C ∈ A ⟹ X ∖ C = ⋃ n ∈ N X ∖ A n ⏟ ∈ A ⏟ ∈ A X\setminus C\in\mathcal{A}\implies X\setminus C=\underset{\in\mathcal{A}}{\underbrace{\bigcup_{n\in \mathbb{N}}\underset{\in\mathcal{A}}{\underbrace{X\setminus A_{n}}}}} X ∖ C ∈ A ⟹ X ∖ C = ∈ A n ∈ N ⋃ ∈ A X ∖ A n
□ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ Not/Def. : {\color{Cyan} \text{Not/Def. :} } Not/Def. :
[ 0 , + ∞ ] = [ 0 , + ∞ ) ∪ { + ∞ } , extendiendo + , ∗ en [ 0 , + ∞ ] tal que: 1. a < + ∞ ∀ a ∈ [ 0 , + ∞ ) 2. a + ( + ∞ ) = + ∞ ∀ a ∈ [ 0 , + ∞ ] 3. a . ( + ∞ ) = + ∞ ∀ a ∈ ( 0 , + ∞ ] 4. 0. ( + ∞ ) = 0 \begin{array}{l}
\text{$[0,+\infty]=[0,+\infty)\cup \{ +\infty \},$ extendiendo $+,*$ en $[0,+\infty]$ tal que:}\\
\text{1. $a<+\infty \quad\forall a\in[0,+\infty)$}\\
\text{2. $a+(+\infty)=+\infty \quad\forall a\in[0,+\infty]$}\\
\text{3. $a.(+\infty)=+\infty \quad\forall a\in(0,+\infty]$}\\
\text{4. $0.(+\infty)=0\quad$ }
\end{array} [ 0 , + ∞ ] = [ 0 , + ∞ ) ∪ { + ∞ } , extendiendo + , ∗ en [ 0 , + ∞ ] tal que: 1. a < + ∞ ∀ a ∈ [ 0 , + ∞ ) 2. a + ( + ∞ ) = + ∞ ∀ a ∈ [ 0 , + ∞ ] 3. a . ( + ∞ ) = + ∞ ∀ a ∈ ( 0 , + ∞ ] 4. 0. ( + ∞ ) = 0 Teorema : {\color{violet} \text{Teorema :} } Teorema :
Teorema de Lebesgue ∃ ! μ : M → [ 0 , + ∞ ] tal que: 1. μ ( ( a , b ) ) = b − a si a , b ∈ R y a < b . 2. μ ( ⋃ A n ) ≤ ∑ μ ( A n ) ∀ A n ∈ M 3. ∀ A ∈ M , ∀ E > 0 , ∃ G ⊇ A con G abierto con μ ( G ∖ A ) < E ( σ -regularidad) \begin{array}{l}
\textbf{Teorema de Lebesgue} \\
\text{$\:\exists\:!\mu:\mathcal{M}\to[0,+\infty]$ tal que:}\\
\text{1. $\mu((a,b))=b-a$ si $a,b\in \mathbb{R}$ y $a<b$.}\\
\text{2. $\mu\left( \bigcup A_{n} \right)\leq \sum \mu(A_{n})\quad\forall A_{n}\in \mathcal{M}$}\\
\text{3. $\forall A\in\mathcal{M},\forall\mathcal{E}>0,\:\exists\:G\supseteq A$ con $G$ abierto con $\mu(G\setminus A)<\mathcal{E}$ ($\sigma$ -regularidad) }
\end{array} Teorema de Lebesgue ∃ ! μ : M → [ 0 , + ∞ ] tal que: 1. μ (( a , b )) = b − a si a , b ∈ R y a < b . 2. μ ( ⋃ A n ) ≤ ∑ μ ( A n ) ∀ A n ∈ M 3. ∀ A ∈ M , ∀ E > 0 , ∃ G ⊇ A con G abierto con μ ( G ∖ A ) < E ( σ -regularidad)
En 2. vale la igualdad si los A n A_{n} A n σ − \sigma- σ −
Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
μ ( ∅ ) = 0 \mu(\emptyset)=0 μ ( ∅ ) = 0 Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem:
( 0 , 1 ) ↓ μ = ( 0 , 1 ) ∪ ˙ ↓ μ ( ⋃ n ≥ 2 ∅ ) por la σ -aditividad \underset{\downarrow\mu}{(0,1)}=(0,1)\underset{\downarrow\mu}{\dot{\cup}}\left( \bigcup_{n\geq 2}\emptyset \right)\text{ por la $\sigma$-aditividad } ↓ μ ( 0 , 1 ) = ( 0 , 1 ) ↓ μ ∪ ˙ ( n ≥ 2 ⋃ ∅ ) por la σ -aditividad 1 = 1 + ∑ n ≥ 2 μ ( ∅ ) ⟺ ∑ μ ( ∅ ) = 0 ⟺ μ ( ∅ ) = 0 1 = 1+\sum_{n\geq 2}\mu(\emptyset)\iff \sum \mu(\emptyset)=0\iff \mu(\emptyset)=0 1 = 1 + n ≥ 2 ∑ μ ( ∅ ) ⟺ ∑ μ ( ∅ ) = 0 ⟺ μ ( ∅ ) = 0 □ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
Sean A , B ∈ M . 1. μ ( A ∪ B ) = μ ( A ) + μ ( B ) si A ∩ B = ∅ (aditividad). 2. μ ( A ) ≤ μ ( B ) ⟺ A ⊆ B (monoton ı ˊ a). \begin{array}{l}
\text{Sean $A,B \in\mathcal{M}$.}\\
\text{1. $\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$ si $A\cap B=\emptyset$ (aditividad).}\\
\text{2. $\mu(A)\leq \mu(B)\iff A\subseteq B$ (monotonía).}
\end{array} Sean A , B ∈ M . 1. μ ( A ∪ B ) = μ ( A ) + μ ( B ) si A ∩ B = ∅ (aditividad). 2. μ ( A ) ≤ μ ( B ) ⟺ A ⊆ B (monoton ı ˊ a). Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem: A ∪ B = A ∪ ˙ B ∪ ˙ ( ⋃ n ≥ 2 ∅ ) A\cup B=A\dot{\cup}B\dot{\cup}\left( \bigcup_{n\geq_{2}}\emptyset \right) A ∪ B = A ∪ ˙ B ∪ ˙ ( ⋃ n ≥ 2 ∅ ) μ ( B ) = μ ( B ∖ A ) ⏟ ∈ [ 0 , + ∞ ] + μ ( A ) \mu(B)=\underset{\in[0,+\infty]}{\underbrace{\mu(B\setminus A)}}+\mu(A) μ ( B ) = ∈ [ 0 , + ∞ ] μ ( B ∖ A ) + μ ( A ) μ ( B ) = + ∞ \mu(B)=+\infty μ ( B ) = + ∞ μ ( B ) < + ∞ \mu(B)<+\infty μ ( B ) < + ∞
□ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
A es nulo ⟺ μ ( A ) = 0 \begin{array}{l}
\text{$A$ es nulo $\iff \mu(A)=0$}
\end{array} A es nulo ⟺ μ ( A ) = 0 Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem: ⇒ ) {\color{orange} \Rightarrow) } ⇒ ) E > 0 , ∃ ( I n ) n \mathcal{E}>0,\:\exists\:(I_{n})_{n} E > 0 , ∃ ( I n ) n A ⊆ ⋃ n ∈ N I n A\subseteq \bigcup_{n\in \mathbb{N}}I_{n} A ⊆ ⋃ n ∈ N I n ∑ n ∈ N l o n g ( I n ) < E \sum_{n\in \mathbb{N}}long(I_{n})<\mathcal{E} ∑ n ∈ N l o n g ( I n ) < E
μ ( A ) ≤ monoton ı ˊ a μ ( ⋃ I n ) ≤ σ − a d i t i v i d a d ∑ μ ( I n ) = ∑ l o n g ( I n ) < E ∀ E > 0 \mu(A)\underset{\text{monotonía}}{\leq }\mu\left( \bigcup I_{n} \right)\underset{\sigma-aditividad}{\leq }\sum \mu(I_{n})=\sum long(I_{n})<\mathcal{E}\quad \forall\mathcal{E}>0 μ ( A ) monoton ı ˊ a ≤ μ ( ⋃ I n ) σ − a d i t i v i d a d ≤ ∑ μ ( I n ) = ∑ l o n g ( I n ) < E ∀ E > 0 ⟹ μ ( A ) = 0 \implies \mu(A)=0 ⟹ μ ( A ) = 0
⇐ ) {\color{orange} \Leftarrow) } ⇐ ) μ ( A ) = 0. \mu(A)=0. μ ( A ) = 0. E > 0 \mathcal{E}>0 E > 0 G ⊇ A G\supseteq A G ⊇ A μ ( G ∖ A ) < E \mu(G\setminus A)<\mathcal{E} μ ( G ∖ A ) < E G = ( G ∖ A ) ∪ A . G=(G\setminus A)\cup A. G = ( G ∖ A ) ∪ A . μ ( A ) = 0 , \mu(A)=0, μ ( A ) = 0 , μ ( G ) = μ ( G ∖ A ) < E \mu(G)=\mu(G\setminus A)<\mathcal{E} μ ( G ) = μ ( G ∖ A ) < E G = ⋃ I n G=\bigcup I_{n} G = ⋃ I n A ⊆ ⋃ I n A\subseteq \bigcup I_{n} A ⊆ ⋃ I n ∑ l o n g ( I n ) = μ ( G ) < E \sum long(I_{n})=\mu(G)<\mathcal{E} ∑ l o n g ( I n ) = μ ( G ) < E
□ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square □ Prop. : {\color{Orange} \text{Prop. :} } Prop. :
∀ A ∈ M y ∀ E > 0 , ∃ F ⊆ A cerrado con μ ( A ∖ F ) < E . \begin{array}{l}
\text{$\forall A\in\mathcal{M}$ y $\forall\mathcal{E}>0,\:\exists\:F\subseteq A$ cerrado con $\mu(A\setminus F)<\mathcal{E}$.}
\end{array} ∀ A ∈ M y ∀ E > 0 , ∃ F ⊆ A cerrado con μ ( A ∖ F ) < E . Dem: {\color{Orange} \text{Dem:} } Dem:
Se dejó como ejercicio.
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