Tue-09-09-2025 11:31 profe: Leonard Ehrhorn
status: tags:

---

$$\mathbb{R}\sim(0,+\infty)$$

$f:\mathbb{R}\to(0,+\infty)\bigm|f(x)=e^{x}$ con $f ^{-1}(x)=\ln(x)$

Con dar la inversa bien definida alcanza para decir que es biyectiva.

---

$$\mathbb{R}\sim(a,b)\sim[a,b)\sim(a,b]$$ $$\underbrace{ \mathbb{R}\sim(0,1) }_{ \sigma }\sim(a,b)$$

con $\sigma:\mathbb{R}\to(0,1)\bigm|\sigma(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$ Por otra parte $f:(0,1)\to(a,b)\bigm|f(x)=(b-a)\cdot x+a$

---

Ejercicio 1

Sean $A$ conjunto infinito $\implies \:\exists\:B\subseteq A\bigm|B\sim \mathbb{N}$

Como $A$ es infinito puedo tomar $a_{1} \in A$. Defino $B_{1}=\{ a_{1} \}\subseteq A$ Dado $h \in \mathbb{N},$ supongo que existe $B_{h}\subseteq A,\#B_{h}=h$ Sabemos que $A \setminus B_{h}$ es infinito. Entones puedo tomar $a_{h+1}\in A \setminus B_{h}.$ Sea entonces $B_{h+1}=B_{h}\cup \{ a_{h+1} \}\underset{ HI }{ \subseteq } A$ Además $a_{h+1}\not\in B_{h}\implies\#B_{h+1}=h+1$ También $B_{h}\subseteq B_{h+1}$ Sea $\displaystyle B=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}B_{n}.$ Vemos que $B\subseteq A.$

$$x \in B\implies \:\exists\:n\in \mathbb{N}\bigm| x \in B_{n}\subseteq A$$

Quiero ver que $B \sim \mathbb{N}.$ Sea $f:\mathbb{N}\to B$

$$f(n) \in \begin{cases} B_{1} & n=1 \\ B_{n} \setminus B_{n-1} & n>1 \end{cases}$$

$n=1:$

$$B_{1}=\{ a_{1} \}$$

$n>1:$

$$\#B_{n} \setminus B_{n-1}=1$$

pues $B_{n-1}\subseteq B_{n}$ y $\#B_{h}=\#B_{h-1}+1$

$\implies f(1)=a_{1}$ y $f(n)=a_{n}$ $\implies f$ está bien definida.

$$f\text{ es inyectiva:}$$

Dados $n,m\in \mathbb{N},n<m\implies f(n)\neq f(m)$

$$f(m)=a_{m} \in B_{m} \setminus B_{m-1}$$ $$f(n)=a_{n} \in B_{n}\subseteq B_{m-1}$$ $$\begin{array}{c} \implies a_{n} \in B_{m-1}\implies a_{n} \not\in B_{m} \setminus B_{m-1} \\ \implies a_{n}\neq a_{m} \end{array}$$ $$f\text{ es sobreyectiva:}$$

Sea $b \in B,$ quiero ver que existe $n\in \mathbb{N}\bigm|f(n)=b$

Como $b \in B\implies \:\exists\:m \in \mathbb{N}\bigm|b \in B_{m}$ Sea $m_{0} \in \mathbb{N}$ el mínimo natural tal que $b \in B_{m_{0}}$ Si $m_{0}=1\implies b \in B_{1}\implies f(1)=b$ Si $m_{0}>1\implies b \in B_{m_{0}}\setminus B_{m_{0}-1}\implies f(m_{0})=b$

$$\therefore\: B\sim \mathbb{N}$$ $$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \boxed{\text{Q.E.D.}} \quad \square$$

---

Ejercicio 2

Calcular el cardinal del conjunto de sucesiones de enteros eventualmente constantes.

$$\mathbb{N}\sim \{ ( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{Z}\text{ constantes} \}=A_{1}$$ $$f_{2}:\mathbb{Z}\to A_{1}\bigm| f(n)=(n,n,n,\mathbf{n}\dots) \in A_{1}$$ $$f ^{-1}:A_{1}\to \mathbb{Z}\bigm| f ^{-1}(( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}})=a_{1} \in \mathbb{Z}$$

Es inyectiva:

$$f(n)=f(m)=(n,n,n,n\dots.)=(m,m,m,m\dots.)\implies n=m$$

Es sobreyectiva: Sea $(n,n,n,n\dots)\implies f(n)=(n,n,n,\mathbf{n}\dots)$

$$f_{k}:A_{k}\to \mathbb{N}^{k}$$

$k \in \mathbb{N},k>2$

$$A_{k}=\{ ( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{Z}\bigm| a_{k-1}\neq a_{k},a_{m}=a_{k}\quad\forall m\geq k \}$$ $$f_{k}(( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}})=(a_{1},a_{2},\dots,a_{k})\in \mathbb{Z}^{k}$$

Quiero ver que $A_{k}$ es contable.

Es inyectiva: Sean $( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}},( b_{n} )_{n \in \mathbb{N}} \in A_{k}\bigm|f(( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}})=f(( b_{n} )_{n \in \mathbb{N}})$

$$\begin{array}{c} (a_{1},a_{2},\dots,a_{k})=(b_{1},b_{2},\dots,b_{k}) \\\implies \text{Como }( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}},( b_{n} )_{n \in \mathbb{N}} \in A_{k} \\ \implies ( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}=( b_{n} )_{n \in \mathbb{N}} \end{array}$$

Por lo tanto $f_{k}$ es inyectiva. Deduzco que $A_{k}$ es contable.

Usamos el ejercicio 6 de la guía 2:

$$\#A_{k}\leq \#\mathbb{N}\quad\forall k\in \mathbb{N}\implies\#\bigcup_{k\in \mathbb{N}}A_{k}\leq \#\mathbb{N}$$

Vimos que $\mathbb{N}\sim A_{1} \subseteq \displaystyle \bigcup_{k \in \mathbb{N}}A_{k}$

$$\implies\#\mathbb{N}\leq \#\bigcup_{k\in \mathbb{N}}A_{k}$$

Por el teorema CSB $\displaystyle \#\bigcup_{k\in \mathbb{N}}A_{k}=\#\mathbb{N}$

---

Ejercicio 3

Desarrollos en base 2 de $x \in [0,1)$

$$(x)_{2}=0,a_{1}\:a_{2}\:a_{3}\dots a_{n}\dots \quad ( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq \{ 0,1 \}$$ $$\implies x =\sum_{m=1}\frac{a_{m}}{2^{m} }$$

Recordar que $\displaystyle \sum_{m\geq 1}\frac{1}{2^{m}}=1$

Dado $m_{0} \in \mathbb{N}, \displaystyle\frac{1}{2^{m_{0}}}=\sum_{m\geq 1}\frac{1}{2^{m}}-\frac{1}{2^{m_{0}}}=\sum_{m\geq m_{0}+1}\frac{1}{2^{m}}$

En desarrollo binario

$$0,0100000\dots=0,0011111\dots.$$

Es decir hay dos interpretaciones posibles. Veamos que es la única forma de que resulten iguales.

Sean $x,y \in[0,1)$ con desarrollos binarios diferentes. Sea $m_{0} \in \mathbb{N}$ el mínimo $\bigm|a_{m_{0}}\neq b_{m_{0}}$ Suponemos $a_{m_{0}}=1$ y $b_{m_{0}}=0$

$$\begin{array}{c} (x)_{2}=0,a_{1}\:a_{2}\:\dots a_{n} \dots\\ (y)_{2}=0,b_{1}\:b_{2}\dots b_{n}\dots \end{array}$$ $$(x)_{2}=0,a_{1}\:a_{2}\dots a_{m_{0}}\:a_{m_{0}+1}\dots\underset{ (1) }{ \geq } 0,a_{1}\:a_{2}\dots a_{m_{0}-1}\:0\:1\:1\:1\geq 0,a_{1}\:a_{2}\:\dots a_{m_{0}-1}\:0\:b_{m_{0}+1}\:b_{m_{0}+2}\dots$$ $$=(y)_{2}\underset{ (2) }{ \geq } 0,a_{1}\:a_{2}\:\dots\:a_{m_{0}-1}\:0\:b_{m_{0}+1}$$

$(1):$ Es $>$ si $a_{k}=1$ para algún $k\geq m_{0}+1$ $(2):$ Es $>$ si $b_{k}=0$ para algún $k\geq m_{0}+1$

---

Citas y Comentarios