Avanzado-Práctica 7 - Espacios Métricos III

Tue-10-09-2024 11:37 profe: Nicolás Sirolli- Mauro status: tags:

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$$\text{Sean $0<r'<r$ y $x$ un elemento de un espacio métrico. Probar que $B(x,r')\subseteq B(x,r)$ }$$

Recordar:

$$A°=\{ x \in E: \:\exists\:r>0\:|\: B(x,r)\subseteq A \}=\bigcup_{G\subseteq A,G\:abierto} G$$

y la clausura:

$$\overline{A}=\{ x \in E:\forall r>0\:|\: B(x,r)\cap A\neq \emptyset \}=\bigcap_{C\supseteq A,C\:cerrado}C$$

$Dem:$ La idea que vamos a usar es que todo elemento de $\overline{B(x,r')}$ tiene que estar en $B(x,r)$

$$y \in\overline{B(x,r')}$$

Luego $\forall \hat{r}>0$

$$B(y,\hat{r})\cap B(x,r')\neq \emptyset$$

Sea $\hat{r}=r-r'$, luego existe $z \in B(y,r-r')\cap B(x,r')$

$$d(x,z)<r'\quad d(z,y)<r-r'$$

Luego:

$$\begin{array}{c} d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)<r'+(r-r')=r \\ \implies d(x,y)<r \\ \implies y \in B(x,r) \end{array}$$

Entonces tengo que

$$\overline{B(x,r')}\subseteq B(x,r)\tag{*}$$

Y como, por propiedad:

$$\begin{array}{c} A\subseteq \overline{A}\implies B(x,r')\subseteq\overline{B(x,r')} \\ \implies B(x,r')\subseteq\overline{B(x,r')} \underset{por \:*}{\subseteq} B(x,r) \\ \therefore\: B(x,r')\subseteq B(x,r) \end{array}$$ $$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

Podría partir de que(Esta es otra idea, la 2)

$$\overline{B(x,r')}^C\supseteq B(x,r)^C$$

Sea $y \not\in B(x,r)$. Veamos que

$$B(y,r-r')\cap B(x,r')=\emptyset$$

vale pues, si $z \in B(y,r-r')$

$$\begin{array}{c} d(z,x)\geq d(x,y)-d(y,z) \\ d(x,z)\geq r-d(z,y)>r-(r-r')=r' \\ d(x,z)>r' \\ \implies z\not\in B(x,r') \end{array}$$

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Recordar:

$$|\lvert f-g |\rvert _{1}=\int_{0}^1 |f(x)-g(x)|dx$$

Calcular:

$$\{ f \in C([0,1]):f(0)\leq 2 \}°\quad \quad \text{con métrica $\:|\:.|\: _{1}$}$$

Veamos que el interno es vacío. Por absurdo Supongamos que tenemos $f$ y $r>0$ tal que:

$$B(f,r)\subseteq \{ h \in C[0,1]:h(0)\leq 2 \}$$

Vamos a usar la hipótesis de que $f$ es continua. Entonces $\:\exists\:\delta>0\:|\:$ si $x<\delta$ entonces:

$$f(x)\in B(f(0),\mathcal{E})\text{ tomamos }\mathcal{E}=1$$

Estamos en condiciones de definir $g \in B(f,r)$ Y ver que $g$ no está en el conjunto original, i.e., $g(0)>2$

Fijemos $x_{0}\in(0,\delta)\:|\:x_{0}< \frac{r}{\delta+2.|f(0)|}$ Sea $g:[0,1]\to \mathbb{R}$

$$g(x)=\begin{cases} 3 + \frac{f(x_{0})-3}{x_{0}}x& si\:x\leq x_{0} \\ f(x) \\ &cc \end{cases}$$

$g(x)$ resulta ser continua. Claramente $g$ no está en el conjunto original pues $g(0)=3$ Basta ver que $g\not\in B(f,r)$

$$|f-g|_{1}=\int_{0}^1 |f-g| \, dx =\int_{0}^{x_{0}} |f(x)-g(x)| \, dx \leq \int_{0}^{x_{0}} |f(x)|+|g(x)| \, dx$$ $$\begin{array}{c} \leq \int |f(x)-f(0)+f(0)|+3+ \frac{|f(x_{0})-3|}{x_{0}}x \:dx \\ \leq \int |f(x)-f(0)|+|f(0)|+3+ |f(x_{0})-3|x \:dx \\ \leq \int |f(x)-f(0)|+|f(0)|+3+ |f(x_{0})-3+f(0)-f(0)|x \:dx \\ \leq \int |f(x)-f(0)|+|f(0)|+3+ |f(x_{0})-f(0)|+|f(0)|+3x \:dx \\ \leq \int 1 + |f(0)|+6+1+|f(0)|\:dx \\ =\int8+2|f(0)|\:dx \\ =(8+2|f(0)|).x_{0}<r \end{array}$$

Luego $g \in B(f,r)$ como queríamos. y resulta que llegamos a un absurdo, por lo tanto el interior es vacío.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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