Tue-03-09-2024 11:52 status: Mauro Rodriguez Cartabia tags: Cardinalidad

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Ej. 8)a) Guía 2

$$P(A)\sim \{ 0,1 \}^{A}$$

$Dem:$

Encontremos la función biyectiva

$$P(A)\to \{ 0,1 \}^A$$ $$B\subseteq A \mapsto X_{B}$$

Donde

$$X_{B}(a)=\begin{cases} 1&si\quad a \in B \\ 0&cc \end{cases}$$

$X_{B}$ se dice la característica de $B$. Está bien definida la función, resta ver que es biyectiva. Para la inyección sea $B\neq \hat{B}$ ambos subconjuntos de $A$.

Tomo dos elementos del dominio distintos, quiero ver que as imágenes son distintas. Es un contrarrecíproco de $f(x_{1})= f(x_{2})\implies x_{1}= x_{2}$

$$\exists\:a \in B\Delta \hat{B}$$

Luego

$$X_{B}(a)\neq X_{\hat{B}}(a)$$

Por definición de $X_{B}(a)$ Notar que

$$B\Delta \hat{B}=(B\setminus \hat{B})\cup(\hat{B}\setminus B)$$

Entonces la función $f:P(A)\to \{ 0,1 \}^A$ es inyectiva. pues

$$f(B)=X_{B}\neq X_{\hat{B}}=f(\hat{B})$$

Para ver sobreyectividad: Sea $\phi:A\to \{ 0,1 \}$, es decir, $\phi \in \{ 0,1 \}^A$ Consideremos $B=\phi ^{-1}(1)$, con $B\subseteq A$ Luego $X_{B}=\phi=f(B)$

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Ahora, veamos $[0,1]\sim \{ 0,1 \}^\mathbb{N}$

Considerar que los números no tienen una escritura única.

En base 10:

$$0,1234 = \frac{1}{10}+ \frac{2}{10^{2}} + \frac{3}{10^3} + \frac{4}{10^4}$$ $$0,101110 = \frac{1}{2}+ \frac{0}{2^{2}} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4}$$

Buscamos una función $\phi:\{ 0,1 \}^\mathbb{N}\to[0,1]$ Trabajamos en base $2$, tampoco tenemos unicidad en su escritura.

$$(1,0,1,1,0,\dots)=(1,0,1,1,\hat{0})=(1,0,1,0,\hat{1})$$ $$\frac{1}{2}+ \frac{0}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}= \frac{11}{16}$$ $$\frac{1}{2} + \frac{0}{4} + \frac{1}{8} + \frac{0}{16}+ \sum_{n=5}^\infty \frac{1}{2^{n+5-5}} = \frac{10}{16} + \frac{1}{32} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}\underset{\sum \frac{1}{2^n}=2}{=} \frac{11}{16}$$

En general:

$$\begin{array}{l} (a_{1},a_{2},a_{3},\dots,a_{n-1},1,\hat{0})= \\ (a_{1},a_{2},a_{3},\dots,a_{n-1},0,\hat{1}) \\ \end{array}$$

luego, definimos

$$\Phi: \{ 0,1 \}^\mathbb{N}\to[0,1]$$ $$(a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \mapsto \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2^n}$$

Ojo que si empiezo desde $n=1 \implies \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2^n} = 1$ Por definición

$$L=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2^n}= \lim_{ N \to \infty } S_{N}$$

Donde $S_{N}=\sum_{n=1}^{N} \frac{a_{n}}{2^n}$ Notar que $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ es acotada y creciente(por ser suma de cosas no negativas), por lo tanto es convergente

$\Phi$ no es inyectiva. Sí es sobreyectiva ya que todo número podemos escribirlo en base 2.

Una tira de 0's y 1's pueden caer al mismo número dentro de $[0,1]$ Notemos que , por ejemplo,

$$\Phi((1,\hat{0}))=\Phi((0,\hat{1}))$$

Cada vez que tengamos finitos 1's, no tengo escritura única. Entonces trato de sacarlos.

y definamos

$$A = \{ (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in \{ 0,1 \}^\mathbb{N}: \text{Tiene finitos 1} \}$$

Luego

$$\Phi:\{ 0,1 \}^\mathbb{N} \setminus A\to[0,1]$$

Sí es biyección.

Por ejercicio 3b de la guía 2 Como $\#\{ 0,1 \}^\mathbb{N}=c$, basta ver que $A$ es numerable.

$$A=\bigcup_{n \in \mathbb{N}_{0}} \{ (a_{n})_{n \in \mathbb{N}}:a_{m}=0 \quad si\: m>n \}$$

Union de cosas finitas. Tambien podemos usar que el cardinal de $\{ 0,1 \}^\mathbb{N}$ es como mínimo c.

Luego $A$ es numerable y

$$\{ 0,1 \}^\mathbb{N} \setminus A\sim \{ 0,1 \}^\mathbb{N}\sim[0,1]$$ $$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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