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Sucesiones

Ej. 1

$$\text{Dada una sucesión $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ que converge a $l\in \mathbb{R}$. Probar que $(a_{n}^{2})_{n\in \mathbb{N}}$ converge a $l^{2}$}$$

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Ej. 2 Práctica 1, 14)

$$\begin{array}{l} \text{Sean $(a_{n})_{n\geq1}\subseteq \mathbb{R}$ y $l\in \mathbb{R}$.}\\ \text{Probar que si toda subsucesión $(a_{n_{k}})_{k\in \mathbb{N}}$ tiene una subsucesión $(a_{n_{k_{j}}})_{j\in \mathbb{N}}$ que converge a $l$}\\ \text{, entonces la sucesión $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ converge a $l$} \end{array}$$

Vamos por absurdo: Usamos que cualquier subsucesión de una sucesión que converge a $l$ también converge a $l$. Asumimos que no converge a $l$. Y encontramos una subsucesión que converja a $l$

Buscamos negar para todo $\epsilon>0\: \exists n_{0}\in \mathbb{N}|si\:n\geq n_{0}$ se cumple:

$$|a_{n}-l|<\epsilon$$

Entonces veo si existe algún

$$\epsilon>0\:\forall n_{0}\in N,\exists n\geq n_{0}:|a_{n}-l|\geq\epsilon \tag{*}$$

Luego fijemos el $\epsilon>0$. Existe $n_{1}\geq{1}$ tal que vale (*) Luego existe $n_{2}\geq n_{1}+1$ tal que vale (*) Luego existe $n_{3}\geq n_{2}+1$ y así ... Así tengo infinitos términos $n_{i}$. Me armo entonces una subsucesión con estos términos que definí. Verificar que la subsucesión $(a_{n_{k}})_{k}$ no tiene ninguna subsubsucesión convergente a $l$. Llegamos a un absurdo.

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Ej. 3

Sean $(a_{n})_{n}$ y $(b_{n})_{n}$ sucesiones con límite $a,b$ respectivamente. Demostrar:

1. Si $a_{n}\leq b_{n}$ entonces $a\leq b$
2. L sucesión $(a_{n}+b_{n})$ tiene límite $a+b$

$1.$ Fijamos cualquier $\epsilon\geq0$. Y usamos la definición del límite. Y también usemos ej.1 de la práctica 1.

$$x<y+\epsilon, \forall\epsilon>0\implies x\leq y$$ $$\exists n_{0}\in \mathbb{N}:|a_{n}-a|< \frac{\epsilon}{2} \quad \quad \quad \quad \text{ $\forall n\geq n_{0}$,}$$

además:

$$\exists m_{0}\in \mathbb{N}:|b_{b}-b|< \frac{\epsilon}{2} \quad \quad \quad \quad \text{ $\forall m\geq m_{0}$. }$$

Buscamos probar que $a<b+\epsilon$. Sea $l=max\{ n_{0},m_{0} \}$

$$\begin{array}{l} a=a+a_{l}-a_{l}\leq|a-a_{l}|+a_{l}< \frac{\epsilon}{2} + a_{l} \\ = \frac{\epsilon}{2} + a_{l} - b_{l} + b_{l} \\ \leq \frac{\epsilon}{2} + b_{l} + b - b \quad pues \quad a_{l} - b_{l} <=0 \\ \leq \frac{\epsilon}{2} |b_{l} - b| + b \\ < \epsilon + b \end{array}$$

$2.$ Con los mismos $n_{0}$ y $m_{0}$ anteriores , si $l=max\{ n_{0},m_{0} \}$

$$\begin{array}{l} |a+b-(a_{l}+b_{l})|=|a-a_{l}+b-b_{l}|\leq|a-a_{l}|+|b-b_{l}|< \epsilon \end{array}$$

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Ej.4

Con las hipótesis del ejercicio anterior probar que $(a_{n}b_{n})_{n}$ tiene limite $ab$ Además $\left( \frac{a_{n}}{b_{n}} \right)$ tiene límite $\frac{a}{b}$ Siempre que ... Completar la frase y probarla.

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Cardinalidad

$$\text{$X=\{ 2^{k}:k\in \mathbb{Z} \}$ es numerable.}$$

Sabemos que existe biyección entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$. Además la composición de biy. es biy. . Luego

$$\mathbb{N}\to \mathbb{Z}\to X$$

con $k\,|\to {2^{k}}$ es una biyección. Otra forma:

$$\begin{array}{l} \text{$X\subseteq \mathbb{Q}$ entonces $\#X\leq\#\mathbb{N}=\aleph_{0}$}\\ \text{Pero $X$ es infinito , entonces $\#X\geq\aleph_{0}$} \\ \text{Por lo tanto $\#X=\aleph_{0}$} \end{array}$$

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Para la clase que viene

$$\text{Probar que $\mathbb{N}x\mathbb{N}$ es numerable.}$$ $$\mathbb{N}\sim \mathbb{N}\times \mathbb{N}$$ $$(m,n)\to m+\frac{(m+n-1)(m+n-2)}{2}$$

De acá existe

$$q:\mathbb{N}\to \mathbb{Q}^{+} \quad sobreyectiva$$

Como $\mathbb{N}\sim \mathbb{N}\times \mathbb{N}$:

$$\begin{array}{l} \phi:\mathbb{N}\to &\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{Q}^{+} \\ &(m,n)\to \frac{m}{n} \end{array}$$

Esto implica $\#\mathbb{N}=\#\mathbb{N}\times \mathbb{N}\geq\#\mathbb{Q}^{+}$. Pero $\mathbb{Q}^{+}$ no es finito. Entonces $\#\mathbb{Q}^{+}\geq\#\mathbb{N}$ Por lo tanto $\#\mathbb{Q}^{+}= \#\mathbb{N}$ Luego $\mathbb{Q}^{+}\cup \mathbb{Q}^{-}\cup \{ 0 \}=\mathbb{Q}$ Por lo tanto $\mathbb{Q}$ es numerable, pues la union finita de conjuntos numerables o finitos es numerable.

Lo siguiente es una sobreyección para ilustrar el ejercicio nomás: $q:\mathbb{R}\to \mathbb{Q}$ sobreyectiva.

$$q(z)=\begin{cases} z &z\not\in \mathbb{Q} \\ 0&z \in \mathbb{Q} \end{cases}$$

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Ver si $\mathbb{R}$ tiene cardinal mayor a $(0,1)$. Responder y probar.

$$\#(0,1)=\#\mathbb{R}$$

Sabemos que $\#\mathbb{R}\geq \#(0,1)$

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