Tue-12-11-2024 11:07 profe: Nicolás Sirolli- Mauro status: tags:

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Ejercicio 1

Dado $x \in \mathbb{R}$ probar que

$$\left(\sum_{n=0}^{N}\frac{x^{n}}{n!}\right)_{N\in \mathbb{N}}$$

es una sucesión de Cauchy.

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${\color{green} \text{Lema } }$

$$\begin{array}{l} \textbf{Prueba M Weierstrass.}\\ \text{ Sea $( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ sucesión de funciones}\\ |f_{n}(x)|<C_{n}\quad \forall x\\ \text{$\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}<\infty$, entonces las sumas parciales convergen abs. y unif.} \end{array}$$

Mi sucesión son las sumas parciales, no las $f_{n}$

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${\color{green} \text{Lema } }$

$$\begin{array}{l} \textbf{Radio de convergencia} \\ \end{array}$$

Sea $( a_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}$ tal que

$$\lim_{ n \to \infty } \left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|<1$$

Entonces la sucesión $\left( \sum_{n=1}^{N}a_{n} \right)_{N \in \mathbb{N}}$ es de Cauchy

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Resolución ejercicio 1

Pensemos $x \in[-M,M]\quad(M>0)$ Trabajamos con la sucesión definida de dominio $[-M,M]$ dada por $\left( \sum_{n=0}^{N}\frac{x^{n}}{n!} \right)_{N \in \mathbb{N}}$ y con términos

$$\left|\frac{x^{n} }{n!}\right|<C_{n}=\frac{M^{n} }{n!}$$

Para usar prueba M Weierstrass(me da convergencia abbsoluta) necesitamos ver que $\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}<\infty$

$$\frac{C_{n}}{C_{n-1}}=\frac{M^{n} .(n-1)!}{n!.M^{n-1} }=\frac{M}{n}$$

que tiende a cero cuando $n\to \infty$. Entonces se cumple que $\sum_{n=0}^{\infty}C_{n}<\infty$ Y ahora si puedo usar prueba M. Luego por el criterio de D'alembert, converge.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

Converge absolutamente $\to$ converge $\to$ es de Cauchy.

$Obs.$ A está función límite la llamamos $e^{x}$ y notamos:

$$e^{x} =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n} }{n!}$$

Notemos $e^{0}=1$

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Ejercicio 2

Resulta que $e^{x}$ es derivable (y continua) y

$$\frac{d(e^{x} )}{dx}=e^{x}$$

--> 43:50

$$\begin{array}{c} e^{x} .e^{y} =e^{x+y} \\ e^{x} >0\quad \forall x \in \mathbb{R} \end{array}$$

Probar estas propiedades.

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Resolución ejercicio 2

Tenemos

$$S_{n}(x)=\sum_{n=0}^{N} \frac{x^{n} }{n!} \\$$ $$\frac{dS_{N}(x)}{dx}=\sum_{n=1}^{N} \frac{n.x^{n-1} }{n!}=S_{N-1}(x)=\sum_{n=1}^{N} \frac{x^{n-1} }{(n-1)!}$$

Entonces la derivada converge uniformemente a $e^{x}$. Es decir, $e^{x}$ como límite de la sucesión original (de sumas parciales) es derivable y su derivada es el límite de la sucesión $(S'_{N})_{N}$.

Veamos $e^{x}.e^{y}=e^{x+y}$

$$\left|e^{x} .e^{y} -e^{x+y} \right|\leq A+B+C$$ $$\left|e^{x} .e^{y} -\sum_{m=0}^{N} \frac{x^{m} }{m!}\sum_{n=0}^{N}\frac{y^{n} }{n!}\right|=A$$ $$\left|\sum_{m=0}^{N} \frac{x^{m} }{m!}\sum_{n=0}^{N} \frac{y^{n} }{n!}-\sum_{n=0}^{N} \frac{(x+y)^{n} }{n!}\right|=B$$ $$\left|\sum_{n=0}^{N} \frac{(x+y)^{n} }{n!}-e^{(x+y)} \right|=C$$

Fijo $\mathcal{E}>0$, $\:\exists\:N$ suficientemente grande tal que $A<\mathcal{E}$ y $C<\mathcal{E}$

Binomio de Newton (tarea probar por inducción)

$$\sum_{n=0}^{N} \frac{(x+y)^{n} }{n!}=\sum_{n=0}^{N} \frac{1}{n!}\sum_{m=0}^{n} \left(\begin{matrix} n \\ m \end{matrix}\right)x^{m} .y^{n-m}=\sum_{m=0}^{N} \frac{x^{m} }{m!}\sum_{n=m}^{N}\frac{1}{(n-m)!} .y^{n-m} =$$ $$(\hat{n}=n-m)=\sum_{m=0}^{N} \frac{x^{m} }{m!}\sum_{\hat{n}=0}^{N-m} \frac{y^{\hat{n}} }{\hat{n}!}$$

Pensemos $N$ par.

$$B=\left|\sum_{m=0}^{N} \frac{x^{m} }{m!}.\sum_{n=N-m+1}^{N} \frac{y^{n} }{n!}\right|$$

-->1:15

$$\sum_{n= \frac{N}{2}+1}^{N}\frac{|x|^{n} }{n!} <\frac{\mathcal{E}}{e^{|y|} }\tag{1}$$ $$\sum_{n=\frac{cN}{2}+1}^{N} \frac{|y|^{n} }{n!}<\frac{\mathcal{E}}{e^{|x|} }\tag{2}$$

$(1)$ y $(2)$ pasan pues por ser las sumas parciales de Cauchy. (Estoy agarrando la cola de la sucesión) Es decir, en

$$\sum_{n=\frac{N}{2}+1}^{N} C_{n}=S_{N}-S_{\frac{N}{2}}$$

-->1:19 Como sé que $S_{N}$ es de Cauchy para $N$ suficientemente grande.

Notar que $(S_{N})_{N}$ es de Cauchy con un $x$ fijo. Al meter $|x|$ resulta de Cauchy. Mejor escribir $(S_{N}(|x|))_{N}$

Seguimos acotando $B$.

Se sigue la clase que viene.

Continuación: -->Prac 22 P1- 00:00

$$B=\left|\left( \sum_{m=0}^{\frac{N}{2}} \frac{x^{m} }{m!}+\sum_{m=\frac{N}{2}+1}^{N} \frac{x^{m} }{m!} \right)\sum_{n=N-m+1}^{N} \frac{y^{n} }{n!}\right|\leq \left|\sum_{m=0}^{\frac{N}{2}} \frac{|x|^{m} }{m!}\sum_{n=N-m+1}^{N} \frac{|y|^{n} }{n!}+\sum_{m=\frac{N}{2}+1}^{N} \frac{|x|^{m} }{m!}\sum_{n=N-m+1}^{N} \frac{|y|^{n} }{n!}\right|$$

--> otra vez 10:00

$$\leq \sum_{m=0}^{\frac{N}{2}} \frac{|x|^{m} }{m!}\sum_{n=\frac{N}{2}+1}^{N} \frac{|y|^{n} }{n!}+\sum_{m=\frac{N}{2}+1}^{N} \frac{|x|^{m} }{m!}.\sum_{n=1}^{N} \frac{|y|^{n} }{n!}\leq e^{|x|}.\frac{\mathcal{E}}{e^{|x|} }+\frac{\mathcal{E}}{e^{|y|} }.e^{|y|} =2\mathcal{E}$$

-->22:30 Recapitulando:

$$|e^{x} e^{y} -e^{x+y} |<A+B+C<4.\mathcal{E}$$

Luego $e^{x}.e^{y}=e^{x+y}$ pues $\mathcal{E}$ es arbitrario.

Dado $\mathcal{E}> 0\:\exists\:M\in \mathbb{N}\:|\:si\:j,k\geq M$

$$|S_{j}(x)-S_{k}(x)|<\mathcal{E}$$

Sea $\frac{N}{2}\geq M$

$$|S_{N}(x)-S_{\frac{N}{2}}(x)|<\mathcal{E}$$ $$\sum_{n=0}^{N} *-\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}} *=\sum_{n=\frac{N}{2}+1}^{N} *$$

Si $x\geq 0$ entonces $e^{x}> 0$ Si $x<0$ entonces $e^{x}.e^{-x}=e^{x-x}=1$

$$e^{x} =\frac{1}{e^{-x} }>0\text{ pues }-x\geq 0$$

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