Avanzado-Práctica 20 - Sucesiones y series de funciones II

Tema: Sucesiones y series de funciones II

Thu-07-11-2024 01:48 profe: Mauro Rodriguez Cartabia status: tags:

Ejercicio 1

Consideremos la sucesion de funciones (fn)n∈N( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}} dada por fn(x)=x2+1nf_{n}(x)=\sqrt{ x^{2}+\frac{1}{n} }. Probar que converge uniformemente, son C1C^{1} y sin embargo  ∃ x∈R\:\exists\:x\in \mathbb{R} tal que su límite no es derivable.

Dem:Dem: lim⁡n→∞x2+1n=∣x∣\lim_{ n \to \infty }\sqrt{ x^{2}+\frac{1}{n} }=|x|. Quiero ver que converge uniformemente. Sea E>0,\mathcal{E}>0, busco n0∈Nn_{0}\in \mathbb{N} tal que ∣x2+1n−∣x∣∣<E∀n≥n0|\sqrt{ x^{2}+\frac{1}{n} }-|x||<\mathcal{E}\quad\forall n\geq n_{0}

∣fn(x)−f(x)∣=x2+1n−x2=1nx2+1n+x2≤1n1n=1n=1n|f_{n}(x)-f(x)|=\sqrt{ x^{2}+\frac{1}{n} }-\sqrt{ x^{2} }=\frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{ x^{2}+\frac{1}{n} }+\sqrt{ x^{2} }}\leq \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{ \frac{1}{n} }}=\sqrt{ \frac{1}{n} }=\frac{1}{\sqrt{ n }}

Luego E−2<n\mathcal{E}^{-2}<n . Fijamos n0>E−2n_{0}>\mathcal{E}^{-2} que existe por arquimedianeidad. Así, ∣fn(x)−f(x)∣<1n≤1n0<E∀n≥n0|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{1}{\sqrt{ n }}\leq \frac{1}{\sqrt{ n_{0} }}<\mathcal{E}\quad\forall n\geq n_{0} Luego, fn⇉ff_{n}\rightrightarrows f

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Son C1C^{1} pues fn′(x)=122xx2+1n=xx2+1nf_{n}'(x)=\frac{\frac{1}{2}2x}{\sqrt{ x^{2}+\frac{1}{n} }}=\frac{x}{\sqrt{ x^{2}+\frac{1}{n} }} es continua y la derivada existe ∀x\forall x.

∣x∣|x| no es derivable en x=0x=0

Si el límite es no continuo, puedo decir que no conv. unif.

Prop. :{\color{Orange} \text{Prop. :} }

Sea (fn)n∈N que conv. unif. a f con fn,f:X→Y. Sea φ:Y→Z unif. continua.Entonces (φ∘fn)n converge uniformemente a φ∘f. \begin{array}{l} \text{Sea $( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ que conv. unif. a $f$ con $f_{n},f:X\to Y$. Sea $\varphi:Y\to Z$ unif. continua.}\\ \text{Entonces $(\varphi \circ f_{n})_{n}$ converge uniformemente a $\varphi \circ f$. } \end{array}

Dem:{\color{Orange} \text{Dem:} } Dado E>0\mathcal{E}>0, busco n0∈Nn_{0}\in \mathbb{N} tal que si n≥n0:n\geq n_{0}:

d(φ(fn(x)),φ(f(x)))<E∀x∈Xd(\varphi(f_{n}(x)),\varphi(f(x)))<\mathcal{E}\quad\forall x \in X

Como φ\varphi es unif. continua,  ∃ δ>0\:\exists\:\delta>0 tal que ∀y,y′∈Y\forall y,y'\in Y si d(y,y′)<δd(y,y')<\delta, entonces:

d(φ(y),φ(y′))<Ed(\varphi(y),\varphi(y'))<\mathcal{E}

Por la conv. uniforme,  ∃ n0∈N\:\exists\:n_{0}\in \mathbb{N} tal que

d(fn(x),f(x))<δsi n≥n0d(f_{n}(x),f(x))<\delta \quad si\:n\geq n_{0}

Como se cumple la hipótesis de arriba, d(φ(fn(x)),φ(f(x)))<Ed(\varphi(f_{n}(x)),\varphi(f(x)))<\mathcal{E}

Ejercicio 2

Sea (fn)n∈N( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}} dada por fn(x)=x+1nf_{n}(x)=x+\frac{1}{n} y φ(y)=y2\varphi(y)=y^{2},fn,f,φ:R→Rf_{n},f,\varphi:\mathbb{R}\to \mathbb{R} ¿Cómo es la convergencia de (fn)n(f_{n})_{n}? ¿Y con (φ∘fn)n(\varphi\circ f_{n})_{n}?

Dem:Dem: Tengo que fn⇉f=idRf_{n}\rightrightarrows f=id_{\mathbb{R}} . Es decir (fn)n(f_{n})_{n} converge a la identidad. φ∘fn(x)=(x+1n)2\varphi\circ f_{n}(x)=\left( x+\frac{1}{n} \right)^{2}. El límite puntual es (tarea) x2x^{2}.

∣φ∘fn(x)−x2∣=∣(x+1n)2−x2∣=∣2.xn+1n2∣|\varphi\circ f_{n}(x)-x^{2}|=\left|\left( x+\frac{1}{n} \right)^{2}-x^{2}\right|=|2.\frac{x}{n}+\frac{1}{n^{2}}|

Tomamos xn=nx_{n}=n y α=2\alpha=2 Por ej. 1. P7:

∣φ∘fn(xn)−xn2∣=∣2.xnn+1n2∣≥2  ⟹  (x+1n)2⇉̸x2|\varphi\circ f_{n}(x_{n})-x_{n}^{2}|=|2.\frac{x_{n}}{n}+\frac{1}{n^{2}}|\geq 2\implies( x+\frac{1}{n})^{2}\not\rightrightarrows x^{2}

Con esto probamos, una vez más, que (φ∘fn)n(\varphi\circ f_{n})_{n} no conv. unif. Y que φ(y)=y2\varphi(y)=y^{2} no es unif. continua.

Esto último pasa porque (fn)n(f_{n})_{n} es conv. unif. Si además φ(y)\varphi(y) fuera unif. continua por ejercicio 2 valdría que (φ∘fn)n(\varphi\circ f_{n})_{n} conv. unif. Pero como sabemos que (φ∘fn)n(\varphi\circ f_{n})_{n} no conv. unif. y que (fn)n(f_{n})_{n} si conv. unif. necesariamente tiene que pasar que se falsea la parte de que φ(y)\varphi(y) sea unif. continua. (créditos a Marian).

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