Tue-15-10-2024 11:35 profe: Mauro status: tags: Compacidad

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Ejercicio

Sea $y=C([0,1])$ con la métrica $d_{\infty}$. Probar que la sucesión de funciones $(f_{n})_{n}\subseteq X$ con $f_{n}(x)=x^n$ está en la bola $\overline{B}(0,1),$ pero ninguna subsucesión converge.

$Reso:$

$$d_{\infty}(0,f_{n})=max_{x \in[0,1]} \{ x^n \} \leq x^n|_{x=1}=1$$

Segunda parte: Consideremos una sucesión $(f_{n_{j}})_{j}$ y asumamos que tiene límite $f$. La idea es ver que $\not\exists f\in C([0,1])$.

Plan de acción: necesitamos ver la forma de esa $f$.

Queremos estudiar $f$ para llegar al absurdo. Fijemos $x<1$. Además sea $\mathcal{E}>0$,

$$\text{$\:\exists\:j_{0}\:|\:$ si $j\geq j_{0}$ entonces $d_{\infty}(f,f_{n_{j}})< \frac{\mathcal{E}}{2}$}$$

Además pido $x^{nj}\leq x^{nj_{0}}< \frac{\mathcal{E}}{2}$ Veamos $|f(x)|\leq |f(x)-f_{nj}(x)|+|f_{nj}(x)|\leq d_{\infty}(f,f_{nj})+x^{nj}<\mathcal{E}$ Entonces $f(x)=0\quad\forall x<1$ Restar hallar $f(1)$ -->28:00

$$|f(1)-1|=|f(1)-f_{nj}(1)|\leq d_{\infty}(f,f_{nj})< \frac{\mathcal{E}}{2}$$

Como tengo que

$$\begin{cases} f(1)<1+\mathcal{E}' \\ 1<f(1)+\mathcal{E}' \end{cases}\quad \forall\mathcal{E}'>0\quad \underset{\text{Ej. 1 Guía 1}}{\implies} \quad \begin{cases} f(1)\leq 1 \\ 1\leq f(1) \end{cases} \implies f(1)=1$$

Entonces $f(1)=1$. $f$ no es continua, luego $f\not\in C([0,1])$ y llegamos al absurdo.

Demostramos que si es cerrado y acotado, no necesariamente es compacto.

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¿Por qué un conjunto finito debe ser compacto? --> 00:00 Si tenemos un cubrimiento por abiertos, podemos quedarnos con finitos.

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