tags : Supremos e ínfimos

Ejercicio 1

$$\\ \begin{array}{l} \text{Dado $A \subseteq \mathbb{Z}$ no vacío y acotado superiormente, sucede que $sup(A) \in A$.} \end{array} \\$$

$Dem:$

Supongo que $s=sup(A)\not\in A$: Considero $s-\epsilon$ con $\epsilon=\frac{1}{2}$. Entonces $\exists a \in A|s-\epsilon<a$. Ahora tomemos otro $a'$ de modo que $\epsilon_{1}=s-a>0$o pues $s>a$. Entonces $\exists a'|s-\epsilon_{1}<a' \implies a<a'$: Tenemos que $s-\frac{1}{2}<a<a'<s$ Además $a'\in\{a+1,a+2,\dots\}$ Usamos que la diferencia entre $a$ y $a'$ es al menos 1:

$$1\leq |a'-a|\underset{a'>a}{=}a'-a\underset{a>s- \frac{1}{2}}{<}a'-s+\frac{1}{2}<s-s+\frac{1}{2}< \frac{1}{2}$$ $$1\leq |a'-a|< \frac{1}{2}$$

Absurdo, por lo tanto $s=sup(A) \in A$

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Ejercicio 2

$$\begin{array}{l} \text{Para todo $x \in \mathbb{R}, \exists!n \in \mathbb{Z}:n\leq x<n+1$ } \end{array}$$

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$Dem:$

Vamos a considerar el conjunto $A= \{ k \in \mathbb{Z}:k\leq x \}$

$$(i)$$

Resulta que $A$ es acotado superiormente y no vacío $\implies$ Existe un supremo $n$ de $A$. Y como $A \subseteq \mathbb{Z} \implies n \in A$. Y por def. de $A$ : $n\leq x$ Solo falta ver $x<n+1$

$$(ii)$$

Vamos por absurdo, supongamos que:

$$n+1\leq x$$

Por def. de $A$ pasa que $n+1 \in A$ y por la propiedad de que $\mathbb{Z}$ es cerrado bajo la suma:

$$n+1 \in \mathbb{Z}$$

Pero como $n$ es supremo de $A$ también tenemos que :

$$n+1<n$$

Absurdo, concluimos que

$$x< n+1$$

Finalmente probamos que

$$n\leq x<n+1$$

Nos queda ver si $n$ es único. Consideremos que existen $m$ y $n$ diferentes que cumplen la propiedad.

• Si pasa $n<m:$ Por un lado tenemos

$$n\leq x<n+1$$

Además

$$n+1\leq m \implies x<n+1\leq m \implies x<m$$

Pero teníamos que

$$m\leq x$$

pues $m$ cumplía la propiedad. Llegamos a una contradicción, por lo tanto debe pasar que

$$n\geq m\tag{1}$$

Análogamente con el caso $n>m$. Llegamos a que

$$m\geq n\tag{2}$$

Por lo tanto, por $(1)$ y $(2)$ tengo que

$$m=n$$

Luego, $n$ es único.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$

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Ejercicio 3

Consideramos

$$A=\{ x \in \mathbb{Q}:x\leq \sqrt{ 2 } \}$$

Hallar el supremo. ¿Existe máximo?

$Dem:$

Considero que el supremo es $\sqrt{ 2 }$. Cumple que es cota superior por definición de $A$. Veamos si cumple $ii)$ de la equivalencia $1)$:

Sea $\mathcal{E}>0$ $\sqrt{ 2 }-\mathcal{E}<\sqrt{ 2 }$. Entonces por ejercicio 2b Práctica 1 existe $r\in \mathbb{Q}$ tal que:

$$\sqrt{ 2 }-\mathcal{E}<r<\sqrt{ 2 }$$

Con lo cual vemos que $\sqrt{ 2 }$ cumple $ii) Equiv 1)$. Entonces es supremo. Como $\sqrt{ 2 }$ es irracional $\implies \sqrt{ 2 }\not\in A \implies \not\exists$ máximo.

$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \square$$