Avanzado 2025 - Práctica 4 - Cardinalidad

Tue-01-04-2025 20:30 profe: Pablo Herrera | Dario Martin Aza Mariano Negri - Juan Garber status: tags: Cardinalidad

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$( A_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ numerables $\implies \bigcup A_{n}$ numerable

$f_{n}:A_{n}\to \mathbb{N}$ biyectiva. Sea $a \in \bigcup A_{n}\implies m=min_{n}\{ a \in A_{n} \}$ Defino $a\mapsto(m,f_{n}(a))$, que es inyectiva (verificar).

Sea $f_n : A_n \to \mathbb{N}$ una biyección para cada $n \in \mathbb{N}$.
Definimos una función:

$$f : \bigcup A_n \to \mathbb{N} \times \mathbb{N}$$

tal que, para cada $a \in \bigcup A_n$, sea

$$m = \min\{ n \in \mathbb{N} \mid a \in A_n \}$$

y definimos:

$$f(a) = (m, f_m(a))$$

Queremos probar que $f$ es inyectiva.

Supongamos que $f(a) = f(b)$. Entonces:

$$(m, f_m(a)) = (n, f_n(b))$$

Esto implica que $m = n$ y $f_m(a) = f_n(b)$.
Como $m = n$, entonces:

$$f_m(a) = f_m(b)$$

Y como $f_m$ es inyectiva (pues es biyección), se concluye que:

$$a = b$$

Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

Si $a \in \bigcup A_{n}$ $\:\exists\:k\bigm|a \in A_{k}$, por lo tanto el conjunto $\{ k\bigm|a \in A_{k} \}\subseteq \mathbb{N}$ y además está acotado inferiormente. Por lo tanto puedo tomar mínimo.

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$A,B$ numerable $\implies A\times B$ numerable

Pensar que $A\times B=\underset{ a \in A }{ \bigcup }\{ a \}\times B$ : $(a,b)\mapsto f(b)$

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