Tue-20-05-2025 20:21 profe: Mariano Negri status: tags: Compacidad

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Ejercicio 1

Sea el conjunto

$$A=\left\{ ( x_{n} )_{n \in \mathbb{N}}\bigm| \sum |x_{i}|<\infty \right\}\subseteq \mathscr{l}^{\infty}$$

Tarea: ver que no es compacto en $(\mathscr{l}^{\infty},d_{\infty})$ , tomar la sucesión $e_{1},e_{2},e_{3},\dots$

Consideremos la siguiente sucesión:

$$x^{k} =(0,0,0,\dots,k,\dots)$$

Quiero ver que no existe subsucesión convergente. supongamos que existe $x^{k_{i}}$ tal que $x^{k_{i}}\longrightarrow x \in A\subseteq \mathscr{l}^{\infty}$

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$Obs:$

$$\text{Sea $(X,d),x_{0} \in X,$ notamos $\Phi_{x_{0}}:X\to \mathbb{R}_{\geq0}\bigm|\Phi_{x_{0}}(x)=d(x_{0},x)$ es continua}$$

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Siguiendo, consideramos $\Phi_{0}$ que es continua y aplicamos en $x^{k_{i}}\longrightarrow x$:

$$\begin{array}{c} d_{\infty}(0,x^{k_{i}})\longrightarrow d_{\infty}(0,x) \\ k_{i}\longrightarrow \infty \end{array}$$

Entonces $x\not\in \mathscr{l}^{\infty}$. Absurdo.

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Ejercicio 2

Sea $F=\{ f \in C[0,1]\bigm|d_{\infty}(0,f)\leq 1 \}$

• Es $F$ cerrado?.
• Es $F$ compacto en $(C[0,1],d_{\infty})$ ?

Considero la función $\Phi_{0}(f)=d_{\infty}(0,f)$ que es continua.

$$F =\Phi_{0} ^{-1}([0,1])$$

Como $[0,1]\subseteq \mathbb{R}_{\geq 0}$ cerrado y $\Phi_{0}$ continua, entonces $F$ es cerrado por ser preimagen de un cerrado a través de una función continua.

Sea $f_{n}=x^{n}\in C[0,1]$ para cada $n \in \mathbb{N}$ Supongamos que $F$ es compacto, entonces $\:\exists\:f \in F\bigm|f_{n_{j}}\longrightarrow f$

$$d_{\infty}(f_{n_{j}},f) =\underset{ x \in[0,1] }{ sup }\:\left| f_{n_{j}}(x)-f(x) \right| \longrightarrow 0$$

tenemos que $\forall x \in[0,1]:f_{n_{j}}(x)\longrightarrow f(x)$ Por definición de $f:$

$$x^{n_{j}}\underset{ j\to \infty }{ \longrightarrow } \begin{cases} 1 & x=1 \\ 0 & cc \\ \end{cases}$$

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Ejercicio 3

Sea $(X,d)$ un espacio métrico compacto y $\{ U_{i} \}_{i \in I}$ cubrimiento por abiertos de $X.$ Demostrar que existe $\delta>0\bigm|\forall x \in X\:\exists\:j \in I:B(x,\delta)\subseteq U_{j}$

Como $X$ es compacto, existe cubrimiento finito $\{ U_{i_{1}},U_{i_{2}},\dots,U_{i_{n}} \}$ de $X$. Si algún $U_{i_{j}}=X,$ tomo cualquier $\delta.$ Si no: Consideremos $\displaystyle f:X\to \mathbb{R}_{\geq 0}\bigm|f(x)=\frac{1}{n}\cdot \sum_{j=1}^{n}d(x,U_{i_{j}}^{c})$ , es continua. Como $f$ continua en un compacto, existe $x_{0}$ tal que $f(x)\geq f(x_{0})\quad\forall x \in X$ .

Afirmo que $f(x_{0})$ es el $\delta$ buscado. Notar que $f(x_{0})>0$ Dem: pues sino pasaría que $d(x_{0},U_{i_{j}}^{c})=0\quad\forall j \in \{ 1,\dots,n \}$ de esta manera

$$x_{0}\in U_{i_{1}}^{c}\cap U_{i_{2}}^{c}\cap\dots \cap U_{i_{n}}^{n}$$ $$\implies x_{0}\in(U_{i_{1}}\cup U_{i_{2}}\cup\dots \cup U_{i_{n}})^{c}$$ $$x_{0}\not\in \bigcup_{k=1}^{n} U_{i_{k}}$$

Pero $\bigcup_{k=1}^{n}U_{i_{k}}=X$ $\implies x_{0}\not\in X$. Absurdo. $\implies f(x_{0})>0$

Quiero ver que

$$B(x,\delta)\subseteq U_{i_{k}},\quad k\in \{ 1,\dots,n \}$$

Sea $y \in B(x,\delta)$

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Citas y Comentarios

Letra no tan clara, no es mal manejo de pizarrón pero puede mejorar.