Ejercicio 6

1. Dada $( f_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$ una sucesión de funciones medibles y no negativas en $E$ medible, definimos $f(x)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)$. Pruebe que $f$ es medible ,y que:

$$\int_{E} f \, d\mu = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{E} f_{n} \, d\mu$$

2. Sea $g:\left( 0, \frac{1}{2} \right)\to \mathbb{R}$ definida por $g(t)=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot t^{n-1}.$ Calcule $\displaystyle\int_{\left( 0, \frac{1}{2} \right)} g \, d\mu$.