Ejercicio 5

Sea $E\subseteq \mathbb{R}$ medible y de medida finita con la propiedad de que para todo intervalo $I\subset \mathbb{R}$ se cumple $\mu(I\cap E)\leq \frac{3}{4}\cdot \mu(I)$. Pruebe que $E$ es nulo.

Como $E \in\mathcal{M}$ $\forall\mathcal{E}>0,\:\exists\:U$ abierto tal que $E\subseteq U$ y $\mu(U)<\mu(E)+\mathcal{E}$

Dado $\mathcal{E}>0$, por regularidad exterior, existe $U$ abierto tal que

$$E\subseteq U\land \mu(U)<\mu(E)+\frac{\mathcal{E}}{3}$$

Como $E\subseteq U\implies E\cap U=E$ Como $U$ abierto lo puedo expresar como unión numerable de intervalos disjuntos dos a dos

$$U=\bigcup_{n \in \mathbb{N}}I_{n}\text{ y tambien } \mu(U)=\sum_{n=1}^{\infty} \mu(I_{n})$$

Esto por aditividad numerable en la descomposición de $U.$

$$\mu(E)=\mu(E\cap U)=\mu\left( E\cap \bigcup_{n\in \mathbb{N}}I_{n} \right)=\mu\left( \bigcup_{n \in \mathbb{N}}I_{n} \cap E \right)\leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu(I_{n}\cap E)\leq$$

Esto por subaditividad para $\mu(E)$ y aplicando hipótesis en cada intervalo.

$$\leq \frac{3}{4}\sum_{n=1}^{\infty} \mu(I_{n})=\frac{3}{4}\cdot \mu(U)<\frac{3}{4}\cdot \mu(E)+\frac{\mathcal{E}}{4}$$

Pasé restando pues $\mu(E)<\infty$

$$\implies \mu(E)- \frac{3}{4}\mu(E)<\frac{\mathcal{E}}{4}\implies \mu(E)<\mathcal{E}$$

Como $\mathcal{E}$ era arbitrario entonces $\mu(E)=0.$ Y por teórica $E$ resulta ser nulo.

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Ejercicio 1

Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continua y periódica, es decir, existe $\alpha>0$ tal que $f(x)=f(x+\alpha)\quad\forall x \in \mathbb{R}.$ Pruebe que $f$ es uniformemente continua.

Considero el intervalo $I=[0,\alpha]$. Como es cerrado y acotado en $\mathbb{R}$ entonces $f$ es unif. continua en $I.$ Es decir:

$$(\forall\mathcal{E}>0)(\:\exists\:\delta_{0}>0)(\forall r,s \in I)\quad |x-y|<\delta_{0}\implies |f(r)-f(s)|<\mathcal{E}$$

Afirmo que $\forall x \in \mathbb{R},\:\exists\:k \in \mathbb{Z}\bigm|x+k\cdot\alpha \in I$ En efecto

$$0\leq x + k \cdot \alpha\leq \alpha \iff -\frac{x}{\alpha}\leq k \leq 1 - \frac{x}{\alpha}\tag{1}$$

Si llamo $r = \frac{-x}{\alpha} \in \mathbb{R}$ por guía 1, $\:\exists\:k \in \mathbb{Z}$ que cumple (1)

Sean $x, y \in \mathbb{R}. \:\exists\:k_{1},k_{2} \in \mathbb{Z}$ tal que

$$\begin{cases} \overline{x}=x+k_{1}\cdot\alpha \in I \\ \overline{y}=y+k_{2}\cdot\alpha \in I \end{cases}$$

Como $f$ es periódica

$$\begin{cases} f( \overline{x})=f(x+ k_{1}\cdot\alpha) \\ f( \overline{y})=f(y+ k_{2}\cdot\alpha) \end{cases}$$ $$|f(x)-f(y)|=|f(x)|$$