Práctica 2: Análisis de Fourier - Resoluciones (Ej. 25 a 29)

Aplicaciones a Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs)

Marco Teórico Previo

En esta sección abandonamos el análisis aislado de funciones para resolver los sistemas dinámicos que rigen la física del universo. Las herramientas son dos:

1. Separación de Variables (Dominio Acotado): Proponemos soluciones de la forma $u(x,y) = X(x)Y(y)$ o $u(x,t) = X(x)T(t)$. Esto convierte una EDP en dos Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs) vinculadas por una constante de separación $\lambda$.
2. Transformada de Fourier (Dominio Infinito): Aplicamos el operador $\mathcal{F}$ sobre la variable espacial. Esto convierte las derivadas espaciales en multiplicaciones algebraicas ($u_{xx} \to -4\pi^2\xi^2\hat{u}$), reduciendo la EDP a una EDO de primer orden en el tiempo.

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Ejercicio 25: Ecuación del Calor con Condiciones de Neumann

Intuición Didáctica

Tenemos una varilla de longitud $\pi$. Las condiciones de Neumann $u_x(0,t)=u_x(\pi,t)=0$ significan que los extremos están aislados térmicamente (no hay flujo de calor hacia afuera). Físicamente, esperamos que el calor se redistribuya internamente hasta alcanzar una temperatura uniforme constante (el promedio inicial). Matemáticamente, esto exige usar una serie de cosenos.

Resolución Rigurosa

1. Separación de Variables: Proponemos $u(x,t) = X(x)T(t)$. Reemplazando en la EDP $u_t = u_{xx}$:

$$X(x)T'(t) = X''(x)T(t) \implies \frac{T'(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda$$

Esto genera dos EDOs: a) $X''(x) + \lambda X(x) = 0$ b) $T'(t) + \lambda T(t) = 0$

2. Problema de Contorno Espacial (Neumann): Condiciones de borde: $u_x(0,t) = X'(0)T(t) = 0 \implies X'(0) = 0$. $u_x(\pi,t) = X'(\pi)T(t) = 0 \implies X'(\pi) = 0$. Resolvemos la EDO para $X$: si asumimos $\lambda > 0$ (es decir $\lambda = k^2$), la solución general es: $X(x) = A \cos(kx) + B \sin(kx)$ Derivamos: $X'(x) = -Ak \sin(kx) + Bk \cos(kx)$. Evaluamos $X'(0) = Bk \cos(0) = Bk = 0 \implies B = 0$ (para evitar solución trivial). Evaluamos $X'(\pi) = -Ak \sin(k\pi) = 0 \implies \sin(k\pi) = 0 \implies k = n$, con $n = 0, 1, 2, \dots$ Por lo tanto, los autovalores son $\lambda_n = n^2$ y las autofunciones son $X_n(x) = \cos(nx)$.

3. Evolución Temporal: Para $\lambda_n = n^2$, la EDO temporal es $T_n'(t) = -n^2 T_n(t)$, cuya solución es la decaída exponencial: $T_n(t) = C_n e^{-n^2 t}$.

4. Superposición y Condición Inicial: Por el principio de superposición, la solución general es la serie de Fourier:

$$u(x,t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx) e^{-n^2 t}$$

(Nota: el término $a_0/2$ corresponde a $n=0$, donde $e^0 = 1$. Es el estado estacionario). Evaluamos en $t=0$:

$$u(x,0) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx) = f(x)$$

Reconocemos esto instantáneamente como la serie de cosenos de Fourier de $f(x)$. Los coeficientes quedan definidos unívocamente por:

$$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \, dx$$ $$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos(nx) \, dx$$

[!infobox] Ejercicio 25: Calor con Bordes Aislados (Neumann)
Contexto: Resolución de EDPs por separación de variables en dominio acotado.
Demostración Rigurosa:
Al plantear X''/X = T'/T = -λ, las derivadas nulas en los extremos (Neumann) obligan a la constante B del seno a anularse, resultando en autofunciones puramente de cosenos.
Los autovalores λ_n = n² dictan el decaimiento temporal exponencial e^(-n²t).
La solución general toma la forma u(x,t) = a₀/2 + Σ a_n cos(nx) e^(-n²t).
Advertencia/Clave: A diferencia de Dirichlet (bordes a temperatura cero, que dan serie de senos), Neumann permite el autovalor n=0. Ese término constante a₀/2 (el promedio de la temperatura inicial) es la temperatura final de equilibrio del sistema cuando t → ∞.

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Ejercicio 26: Ecuación del Potencial (Laplace) en Rectángulo

Intuición Didáctica

La ecuación $u_{xx} + u_{yy} = 0$ rige el estado estacionario. Como tenemos bordes laterales fijos en cero ($u(0,y)=u(a,y)=0$), en la variable $x$ el calor oscilará (senos). Como el sistema debe balancear a cero, si en $x$ hay derivadas segundas negativas, en $y$ deben ser positivas, dando origen a funciones exponenciales o hiperbólicas (seno hiperbólico y coseno hiperbólico).

Resolución Rigurosa

1. Separación de Variables: $u(x,y) = X(x)Y(y) \implies X'' Y + X Y'' = 0 \implies \frac{X''}{X} = -\frac{Y''}{Y} = -\lambda$. Esto genera: a) $X'' + \lambda X = 0$ b) $Y'' - \lambda Y = 0$

2. Problema en $x$ (Dirichlet Homogéneo): $X(0) = X(a) = 0$. Solución oscilatoria ($\lambda = k^2$): $X(x) = A\cos(kx) + B\sin(kx)$. $X(0) = A = 0$. $X(a) = B\sin(ka) = 0 \implies ka = n\pi \implies k = \frac{n\pi}{a}$. Autofunciones: $X_n(x) = \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)$. Autovalores: $\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{a}\right)^2$.

3. Problema en $y$: La ecuación es $Y_n''(y) - \left(\frac{n\pi}{a}\right)^2 Y_n(y) = 0$. La solución base de esta EDO es combinación de $\cosh$ y $\sinh$. Una forma algebraicamente inteligente de escribir la combinación lineal para poder aislar las dos condiciones de contorno (arriba y abajo) es usar senos hiperbólicos trasladados: $Y_n(y) = A_n \sinh\left(\frac{n\pi(b-y)}{a}\right) + B_n \sinh\left(\frac{n\pi y}{a}\right)$

4. Superposición:

$$u(x,y) = \sum_{n=1}^\infty \left[ A_n \sinh\left(\frac{n\pi(b-y)}{a}\right) + B_n \sinh\left(\frac{n\pi y}{a}\right) \right] \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)$$

5. Condiciones de Contorno Inhomogéneas: Borde inferior ($y=0$):

$$u(x,0) = \sum_{n=1}^\infty \left[ A_n \sinh\left(\frac{n\pi b}{a}\right) + B_n (0) \right] \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) = f(x)$$

Por identificación con la serie de senos, el coeficiente total debe igualar al de Fourier:

$$A_n \sinh\left(\frac{n\pi b}{a}\right) = \frac{2}{a} \int_0^a f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) dx \implies A_n = \frac{2}{a \sinh(\frac{n\pi b}{a})} \int_0^a f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) dx$$

Borde superior ($y=b$):

$$u(x,b) = \sum_{n=1}^\infty \left[ A_n (0) + B_n \sinh\left(\frac{n\pi b}{a}\right) \right] \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) = g(x)$$

De idéntica manera:

$$B_n = \frac{2}{a \sinh(\frac{n\pi b}{a})} \int_0^a g(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) dx$$

(Cálculo completado exitosamente con máxima limpieza algebraica).

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Ejercicio 27: Problema de Dirichlet en Círculo Unidad

Intuición Didáctica

Pasar a polares hace que el Laplaciano cambie de forma. El problema es hallar el potencial dentro del disco ($r < 1$) fijando la frontera ($r=1$). Matemáticamente, el requisito físico de que "nada explote en el centro del disco" será vital para rechazar las soluciones singulares.

Resolución Rigurosa

EDP: $u_{rr} + \frac{1}{r} u_r + \frac{1}{r^2} u_{\theta\theta} = 0$. Sustituyendo la serie propuesta $u(r,\theta) = \frac{A_0(r)}{2} + \sum (A_k(r)\cos k\theta + B_k(r)\sin k\theta)$ en la EDP, y agrupando por armónicos (dado que senos y cosenos son ortogonales), cada coeficiente radial debe satisfacer idénticamente a cero:

$$A_k''(r) + \frac{1}{r} A_k'(r) - \frac{k^2}{r^2} A_k(r) = 0 \quad \text{(y homólogamente para } B_k)$$

Multiplicando por $r^2$:

$$r^2 A_k''(r) + r A_k'(r) - k^2 A_k(r) = 0$$

Reconocemos aquí la clásica Ecuación Diferencial de Euler-Cauchy. Proponemos solución polinomial $A_k(r) = r^\alpha$: $r^2 (\alpha(\alpha-1)r^{\alpha-2}) + r (\alpha r^{\alpha-1}) - k^2 r^\alpha = 0$ $\alpha^2 - \alpha + \alpha - k^2 = 0 \implies \alpha^2 = k^2 \implies \alpha = \pm k$.

Análisis de los armónicos $k \geq 1$: Solución general: $A_k(r) = C_k r^k + D_k r^{-k}$. Condición física: El potencial debe ser finito y continuo en el origen ($r=0$). El término $r^{-k} = 1/r^k$ diverge a infinito. Para evitar esta singularidad no-física, obligatoriamente imponemos $D_k = 0$. Resulta: $A_k(r) = C_k r^k$. Análogamente, $B_k(r) = \tilde{C}_k r^k$.

Análisis para $k=0$: La EDO es $r^2 A_0'' + r A_0' = 0$. Solución general para la raíz doble ($\alpha=0$): $A_0(r) = C_0 + D_0 \ln(r)$. Nuevamente, el logaritmo diverge en $r=0$, forzando $D_0 = 0$. Resulta: $A_0(r) = C_0$.

Ensamble y Condiciones de Borde: Armando la serie:

$$u(r,\theta) = \frac{C_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty r^k (C_k \cos(k\theta) + \tilde{C}_k \sin(k\theta))$$

Evaluamos en la frontera $r=1$:

$$u(1,\theta) = \frac{C_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (C_k \cos(k\theta) + \tilde{C}_k \sin(k\theta)) = f(\theta)$$

Por simple inspección, esta es la serie de Fourier clásica de la función periódica $f(\theta)$. Por ende, las constantes desconocidas son lisa y llanamente los coeficientes de Fourier: $C_0 = a_0, \quad C_k = a_k, \quad \tilde{C}_k = b_k$. Remplazando, llegamos exactamente a la expresión requerida por el enunciado:

$$u(r,\theta) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty r^k (a_k \cos(k\theta) + b_k \sin(k\theta))$$

[!infobox] Ejercicio 27: Ecuación de Euler-Cauchy en el Disco
Contexto: Solución al problema de Dirichlet para Laplace en polares.
Demostración Rigurosa:
Al proyectar Laplace sobre la base angular, la dependencia radial se modela con la EDO r²R'' + rR' - k²R = 0 (Euler-Cauchy). 
Sus raíces características son ±k. La solución radial general es r^k y r^(-k). 
La inclusión del punto origen (r=0) obliga a rechazar r^(-k) y el ln(r) por diverger. 
Al evaluar en r=1, el factor r^k se hace 1, dejando una serie trigonométrica estándar que iguala a f(θ), demostrando que las constantes son los coeficientes a_k y b_k directos.
Advertencia/Clave: Si el problema fuera en un "anillo" (r ∈ [r1, r2]) en vez del disco completo, no podrías anular los coeficientes D_k porque el origen no pertenece al dominio. Ahí usarías todo el poder algebraico del sistema acoplado.

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Ejercicio 28: Ecuación del Calor Infinita y Conservación

Intuición Didáctica

Si calentás una barra infinita, el calor se desparrama, la temperatura pico baja, pero la cantidad total de energía calórica (la integral bajo toda la curva) no puede desaparecer en la nada. La termodinámica exige conservación de energía. Lo probaremos espectralmente.

Resolución Rigurosa

EDP: $u_t - u_{xx} = 0 \implies u_t = u_{xx}$ en $\mathbb{R}$. Aplicamos Transformada de Fourier respecto a la variable espacial $x$:

$$\mathcal{F}\{u_t\} = \mathcal{F}\{u_{xx}\}$$

La derivada temporal conmuta con la integral espacial, y la derivada espacial segunda decanta en el factor $(-2\pi i \xi)^2 = -4\pi^2\xi^2$:

$$\frac{\partial}{\partial t} \hat{u}(\xi, t) = -4\pi^2\xi^2 \hat{u}(\xi, t)$$

Esta es una EDO de primer orden en $t$ para cada frecuencia $\xi$ dada. Su solución es:

$$\hat{u}(\xi, t) = \hat{u}(\xi, 0) e^{-4\pi^2\xi^2 t}$$

La condición inicial $u(x,0) = f(x)$ implica $\hat{u}(\xi, 0) = \hat{f}(\xi)$. Entonces, la dinámica frecuencial es:

$$\hat{u}(\xi, t) = \hat{f}(\xi) e^{-4\pi^2\xi^2 t}$$

Análisis del Calor Total: Sea $Q(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(x,t) \, dx$ la cantidad total de calor. Por definición de la Transformada de Fourier $\hat{u}(\xi, t) = \int_{-\infty}^\infty u(x,t) e^{-2\pi i x \xi} \, dx$. Si evaluamos el espectro exactamente en la frecuencia $\xi = 0$:

$$\hat{u}(0, t) = \int_{-\infty}^\infty u(x,t) e^0 \, dx = \int_{-\infty}^\infty u(x,t) \, dx = Q(t)$$

¡El calor total es la componente de frecuencia cero de la Transformada! Usemos nuestra solución dinámica evaluada en $\xi = 0$:

$$Q(t) = \hat{u}(0, t) = \hat{f}(0) e^{-4\pi^2(0)^2 t} = \hat{f}(0) e^0 = \hat{f}(0)$$

Pero sabiendo que $\hat{f}(0) = \int_{-\infty}^\infty f(x) dx = Q(0)$, tenemos que:

$$Q(t) = Q(0)$$

Q.E.D. (La cantidad total de calor es invariante y constante en el tiempo $t$).

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Ejercicio 29: Ecuación de Schrödinger y Unitaridad

Intuición Didáctica

A diferencia del calor, la ecuación cuántica de Schrödinger es difusiva pero imaginaria pura. Esto hace que la solución espectral no decaiga exponencialmente (como el calor disipado), sino que gire oscilatoriamente en el plano complejo, conservando su módulo. Esto asegura que la partícula nunca "desaparezca" (probabilidad total constante).

Resolución Rigurosa

EDP: $i u_t - u_{xx} = 0 \implies u_t = -i u_{xx}$. Aplicamos Transformada de Fourier en $x$:

$$\frac{\partial}{\partial t} \hat{u}(\xi, t) = -i (-4\pi^2\xi^2) \hat{u}(\xi, t) = 4\pi^2 i \xi^2 \hat{u}(\xi, t)$$

Resolvemos la EDO temporal:

$$\hat{u}(\xi, t) = \hat{f}(\xi) e^{4\pi^2 i \xi^2 t}$$

1. Convergencia en Media Cuadrática cuando $t \to 0$: Queremos ver si $u(x,t) \to f(x)$ en $L^2$. Calculamos la distancia espectral:

$$\int_{-\infty}^\infty |\hat{u}(\xi, t) - \hat{f}(\xi)|^2 d\xi = \int_{-\infty}^\infty |\hat{f}(\xi) e^{4\pi^2 i \xi^2 t} - \hat{f}(\xi)|^2 d\xi = \int_{-\infty}^\infty |\hat{f}(\xi)|^2 |e^{4\pi^2 i \xi^2 t} - 1|^2 d\xi$$

Cuando $t \to 0$, la fase exponencial tiende a 1 puntualmente, por ende $|e^{4\pi^2 i \xi^2 t} - 1|^2 \to 0$. Bajo la hipótesis de que $f \in L^2$ (y por ende $\hat{f} \in L^2$), por el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue, la integral completa tiende a 0. Por la Identidad de Plancherel/Parseval, la norma $L^2$ en el dominio espacila es igual a la norma en frecuencia: $\int |u(x,t) - f(x)|^2 dx = \int |\hat{u} - \hat{f}|^2 d\xi \to 0$. Esto demuestra rigurosamente la convergencia de la condición inicial en media cuadrática.

2. Independencia Temporal de la Probabilidad Total: Sea la norma cuadrada de la función de onda $P(t) = \int_{-\infty}^\infty |u(x,t)|^2 \, dx$. Aplicando la Identidad de Plancherel de manera directa sobre la solución:

$$P(t) = \int_{-\infty}^\infty |\hat{u}(\xi, t)|^2 \, d\xi = \int_{-\infty}^\infty \left| \hat{f}(\xi) e^{4\pi^2 i \xi^2 t} \right|^2 d\xi$$

Como la magnitud de un producto es el producto de las magnitudes $|AB| = |A||B|$, y sabiendo que la exponencial de un argumento puramente imaginario (fase) tiene módulo idéntico a 1: $\left| e^{4\pi^2 i \xi^2 t} \right| = \sqrt{\cos^2(\cdot) + \sin^2(\cdot)} = 1$. Entonces:

$$P(t) = \int_{-\infty}^\infty |\hat{f}(\xi)|^2 \cdot 1 \, d\xi = \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 dx = P(0)$$

Q.E.D. (La integral cuadrada es estrictamente independiente del tiempo $t$, lo cual en mecánica cuántica valida la ley de conservación de la probabilidad).

[!infobox] Ejercicios 28 y 29: Invarianza en Evoluciones de Transformada
Contexto: Uso de la Transformada de Fourier para resolver EDPs en dominio infinito y demostrar leyes de conservación físicas.
Demostración Rigurosa (Calor):
Aplicando Fourier, el PDE se reduce a ODE: F[u]' = -4π²ξ² F[u], dando decaimiento real F[u] = F[f] e^(-4π²ξ²t). 
Dado que F[u](ξ=0) = ∫u dx, evaluando la solución en ξ=0 la exponencial vale 1, quedando u(0,t) = F[f](0) que es constante.
Demostración Rigurosa (Schrödinger):
El PDE arroja la ODE: F[u]' = i 4π²ξ² F[u], dando rotación de fase F[u] = F[f] e^(i 4π²ξ²t). 
Aplicando el Teorema de Plancherel ∫|u|²dx = ∫|F[u]|²dξ. Como el módulo de la exponencial imaginaria es 1 para todo tiempo t, resulta en ∫|F[f]|²dξ que es constante.
Advertencia/Clave: El corazón de la física matemática radica en esta distinción. La ecuación difusiva del calor pierde energía en altas frecuencias de forma real (suavizado y atenuación exponencial), mientras que el propagador cuántico de Schrödinger simplemente desfasará las frecuencias sin alterar la amplitud espectral (preservación unitaria de la información/probabilidad).