Resolución Ejercicio 8 - Análisis Cuantitativo del Fenómeno de Gibbs

a) Observación de las discontinuidades con aumento de N

Al reconstruir una onda cuadrada (que posee un salto abrupto en $t=0, t=T/2$, etc.) sumando sus primeros $N$ armónicos de la serie de Fourier, se observa una fuerte oscilación en las adyacencias de dicha discontinuidad.

A medida que aumentamos la cantidad de armónicos $N$:

1. La frecuencia de las oscilaciones (el "rizado" a lo largo de la parte plana de la onda) aumenta drásticamente.
2. El ancho temporal del sobrepico primario (la primera "oreja" pegada a la discontinuidad) se estrecha cada vez más, acercándose al eje Y.
3. La amplitud (altura) de ese sobrepico primario NO tiende a cero. Nunca se achata hacia el valor nominal de la onda cuadrada.

b) Proporción del Rizado y su Comportamiento Asintótico

En el script ejercicio8.py medimos exactamente la altura máxima alcanzada por la serie de Fourier para diferentes valores de $N$. Consideremos una onda que salta de $-A$ a $+A$. El salto de la discontinuidad tiene un tamaño de $2A$.

La tabla de resultados arrojada por la simulación es categórica:

Armónicos ($N$)	Valor Máximo Alcanzado (Nominal = 1.0)	Proporción del rizado sobre el Salto (2.0)
10	1.1823	9.12 %
50	1.1791	8.96 %
100	1.1790	8.95 %
500	1.1790	8.95 %

Conclusión fundamental: La amplitud del rizado NO desaparece ni converge a cero a medida que sumamos más armónicos. Se estanca asintóticamente en un valor constante.

Analíticamente, se demuestra que este límite matemático corresponde a la integral de seno (función Si):

$$\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x} dx - \frac{1}{2} \approx 0.0894898...$$

Por ende, el rizado siempre será aproximadamente el 8.95% del tamaño de la discontinuidad, sin importar cuán infinito queramos hacer nuestro desarrollo en Serie de Fourier.

Este comportamiento patológico hace que la Serie de Fourier clásica no converga de manera uniforme en funciones discontinuas, sino únicamente punto a punto.

[!infobox] Ejercicio 8: Fenómeno de Gibbs Contexto: Evaluación de la convergencia de la Serie de Fourier en discontinuidades temporales. Resolución Numérica: Se construyó un vector temporal de altísima densidad (100000 puntos en medio segundo) para no "perderse" el pico máximo que se vuelve infinitamente estrecho al subir $N$. Evaluando hasta $N=500$, medimos programáticamente el valor pico de la oscilación con np.max(). Advertencia/Clave: "Más armónicos" equivale a "curva más parecida" a nivel global, pero la altura del error local cerca del salto nunca desaparece. Queda congelada clavada cerca del 9% del tamaño del escalón (la asintota teórica es el $\sim 8.95\%$).