Resolución Ejercicio 6 - Potencia y Distorsión Armónica Total (THD)

a) Potencia Promedio y el Teorema de Parseval

La potencia promedio de una señal periódica $f(t)$ de período $T$ en el dominio del tiempo se define como el valor medio de la señal al cuadrado:

$$P_x = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} |f(t)|^2 dt$$

El Teorema de Parseval establece un puente fundamental entre la energía en el dominio temporal y la energía en el dominio de la frecuencia. Nos dice que la potencia total calculada en el tiempo debe ser exactamente igual a la suma de las potencias de todos los armónicos individuales de su serie de Fourier.

• Para la Serie Trigonométrica:

$$P_x = a_0^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)$$

*(El factor $1/2$ aparece porque la potencia de un seno o coseno de amplitud $A$ es $A^2/2$).*

• Para la Serie Exponencial Compleja:

$$P_x = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2$$

Esto significa que si uno conoce los coeficientes de Fourier de una señal, puede calcular su potencia total sin tener que resolver ninguna integral en el tiempo.

b) Distorsión Armónica Total (THD)

La Distorsión Armónica Total (THD) es una métrica de calidad de señal muy utilizada en audio, electrónica de potencia e ingeniería eléctrica. Cuantifica "cuán lejos" está una señal de ser una onda senoidal pura perfecta.

Físicamente, mide qué porcentaje del contenido energético "vibratorio" se encuentra en frecuencias distintas a la frecuencia fundamental ($n=1$). Su fórmula es la relación (ratio) entre el valor eficaz (RMS) de los armónicos superiores y el valor eficaz del armónico fundamental:

$$\text{THD} = \frac{\sqrt{\sum_{n=2}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2)}}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}}$$

(Nota: a veces se define el THD respecto a la potencia total, pero la convención estándar de IEEE es respecto a la fundamental).

El enunciado nos pide truncar esta suma a los primeros 5 armónicos ($N=5$). Hemos implementado esto en el script ejercicio6.py.

Resultados Numéricos ($N=5$)

Tipo de Señal	THD (Absoluto)	THD (%)	Observación
Pulsada (d=0.25)	0.8069	80.69%	Altamente distorsionada. La fundamental casi no domina la forma de onda.
Diente de Sierra	0.6809	68.09%	Distorsión moderada/alta.
Cuadrada (Par)	0.3887	38.87%	Distorsión moderada. Al no tener armónicos pares (el 2 y el 4 aportan 0), el THD baja respecto a las anteriores.
Triangular	0.1181	11.81%	Distorsión muy baja. La energía de los armónicos superiores decae como $1/n^4$ (ya que $a_n \propto 1/n^2$), por lo que casi toda la potencia está en la fundamental.

[!infobox] Ejercicio 6: Potencia y THD Contexto: Evaluación de la calidad de la señal y distribución energética en frecuencia. Resolución Analítica: Se usa el Teorema de Parseval para igualar la potencia en el tiempo con la suma cuadrática de los coeficientes de Fourier. El THD se calcula programáticamente sumando los cuadrados de los coeficientes de $n=2$ a $n=5$ y dividiendo por el de $n=1$. Advertencia/Clave: Observar la consistencia con el Ejercicio 4. La señal Triangular, que veíamos más "suave" (continua, decaimiento de coeficientes $1/n^2$), presenta el THD más bajo (11.8%). Esto corrobora matemáticamente y físicamente que las curvas continuas se parecen más a una sinusoide pura, mientras que los saltos (pulsada, cuadrada, sierra) inyectan distorsión masiva de alta frecuencia en el sistema.