Resolución Ejercicio 5 - Serie de Fourier con Exponenciales Complejas

Fundamentos Analíticos: La conversión Trigonométrica $\iff$ Compleja

La serie de Fourier trigonométrica vista en el ejercicio anterior:

$$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t) \right]$$

Puede reescribirse en una forma mucho más compacta y elegante utilizando la identidad de Euler ($e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$):

$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{j n \omega_0 t}$$

(Nota: Usamos la convención ingenieril donde $j = \sqrt{-1}$ para no confundir con corriente).

La relación directa entre los coeficientes trigonométricos ($a_n, b_n$) y los complejos ($c_n$) se obtiene despejando los senos y cosenos:

• Para $n = 0$:

$$c_0 = a_0$$

• Para $n > 0$:

$$c_n = \frac{1}{2}(a_n - j b_n)$$

• Para $n < 0$:

$$c_{-n} = c_n^* = \frac{1}{2}(a_n + j b_n)$$

Concepto Clave: El desdoblamiento de la energía

Fíjate bien en el factor $\frac{1}{2}$. La energía (o magnitud) de un armónico que en la serie trigonométrica estaba concentrada únicamente en frecuencias positivas, ahora en la serie compleja se divide en dos partes iguales: una viaja a la frecuencia positiva ($+n\omega_0$) y la otra a la frecuencia negativa ($-n\omega_0$). Es por esto que los espectros complejos siempre tienen "dos picos" simétricos por cada armónico real.

Aplicación a las Señales del Ejercicio 4

Basándonos en las fórmulas de conversión, hallemos los equivalentes $c_n$:

1. Señal Pulsada

• Trigonométrica: $a_n = \frac{2A \sin(n\pi d)}{n\pi}$, $b_n = 0$
• Compleja ($c_n$): Al ser puramente par ($b_n=0$), el coeficiente complejo será puramente real.

$$c_n = \frac{1}{2}(a_n - j0) = \frac{A \sin(n\pi d)}{n\pi} = A d \cdot \text{sinc}(n d)$$

Notar que la envolvente sigue siendo una función sinc.

2. Onda Cuadrada (Par)

• Trigonométrica: $a_n = \frac{2A \sin(n\pi/2)}{n\pi}$, $b_n = 0$
• Compleja ($c_n$): Caso particular del pulso con $d=0.5$.

$$c_n = \frac{A \sin(n\pi/2)}{n\pi}$$

Sigue siendo puramente real y los armónicos pares se anulan.

3. Onda Diente de Sierra

• Trigonométrica: $a_n = 0$, $b_n = \frac{A}{n\pi}$
• Compleja ($c_n$): Al ser puramente impar ($a_n=0$), el coeficiente complejo será puramente imaginario.

$$c_n = \frac{1}{2}(0 - j \frac{A}{n\pi}) = -j \frac{A}{2n\pi}$$

Para frecuencias negativas ($n<0$), el signo del $j$ se invierte debido a la conjugación.

4. Onda Triangular

• Trigonométrica: $a_n = \frac{4A}{(n\pi)^2}$ (con $n$ impar), $b_n = 0$
• Compleja ($c_n$): Función par, coeficiente real.

$$c_n = \frac{1}{2}(\frac{4A}{(n\pi)^2} - j0) = \frac{2A}{(n\pi)^2} \quad \text{para } n \text{ impar}$$

[!infobox] Ejercicio 5: Conversión a Exponenciales Complejas Contexto: Representación de la Serie de Fourier en el dominio complejo ($c_n$). Resolución Analítica: Mediante la relación de Euler se demuestra que $c_n = \frac{1}{2}(a_n - j b_n)$. Funciones pares (cuadrada, triangular) tienen espectro puramente real. Funciones impares (diente de sierra) tienen espectro puramente imaginario. Advertencia/Clave: NUNCA olvidar el factor $\frac{1}{2}$ al pasar de trigonométrica a compleja. Una onda senoidal de amplitud $A$ en el osciloscopio, en el espectro complejo estará formada por dos picos (positivo y negativo) de amplitud $A/2$ cada uno.