Resolución Ejercicio 4 - Series de Fourier Trigonométricas

Análisis Analítico y Numérico

Toda función periódica $f(t)$ de período $T$ que cumpla con las condiciones de Dirichlet puede expresarse como una suma infinita de senos y cosenos:

$$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t) \right]$$

Donde $\omega_0 = 2\pi/T$ es la frecuencia fundamental. En la vida computacional no podemos sumar hasta el infinito, por lo que truncamos la serie a un número $N$ de armónicos. Esto genera una aproximación de la función original.

Las señales del enunciado

El enunciado nos proporciona los coeficientes teóricos para cuatro señales clásicas. Procedimos a generar un script de Python (ejercicio4.py) que suma los primeros $N=20$ armónicos para evaluar la reconstrucción temporal:

1. Señal Pulsada (Tren de pulsos)

• Coeficientes: $a_0 = 2Ad$, $a_n = \frac{2A \sin(n\pi d)}{n\pi}$, $b_n = 0$.
• Análisis: Elegimos un ciclo de trabajo (duty cycle) de $d=0.25$. Al ser par (fase cero), la señal se construye enteramente con cosenos ($b_n=0$). Se observa claramente cómo la suma de cosenos intenta formar el "escalón" del pulso. Los coeficientes $a_n$ dibujan la envolvente de una función Sinc ($\sin(x)/x$), característica fundamental de los pulsos rectangulares.

2. Onda Cuadrada (Par)

• Coeficientes: $a_0 = 2A$, $a_n = \frac{2A \sin(n\pi/2)}{n\pi}$, $b_n = 0$.
• Análisis: Es un caso particular de la pulsada donde $d=0.5$. La envolvente Sinc pasa por cero exactamente en los armónicos pares (2, 4, 6...). Matemáticamente $\sin(n\pi/2) = 0$ para todo $n$ par. Por ende, la onda cuadrada simétrica no contiene armónicos pares, solo impares.

3. Onda Diente de Sierra

• Coeficientes: $a_0 = 0$, $a_n = 0$, $b_n = \frac{A}{n\pi}$.
• Análisis: Esta señal presenta simetría impar $f(-t) = -f(t)$. Por las propiedades de ortogonalidad de Fourier, cualquier señal impar se descompone únicamente en senos, por lo que todos los $a_n = 0$. Su espectro decae armónicamente como $1/n$.

4. Onda Triangular

• Coeficientes: $a_0 = 0$, $a_n = \frac{4A}{(n\pi)^2}$ (con $n$ impar), $b_n = 0$.
• Análisis: Posee simetría par y de media onda. A diferencia de las señales que tienen discontinuidades (saltos abruptos) como la cuadrada o la pulsada (cuyos coeficientes decaen como $1/n$), la onda triangular es continua. Esto hace que sus armónicos decaigan mucho más rápido, a razón de $1/n^2$. La reconstrucción con $N=20$ es visualmente perfecta en comparación con la cuadrada, demostrando que las señales suaves requieren menos armónicos para representarse fielmente.

El Fenómeno de Gibbs

En el gráfico temporal:

Especialmente visible en la Onda Cuadrada, el Tren de Pulsos y el Diente de Sierra, se observan "oscilaciones" u "orejas de conejo" en los puntos de discontinuidad (donde la señal salta abruptamente).

Este es el infame Fenómeno de Gibbs. Aunque aumentemos $N$ hacia el infinito, la amplitud de ese sobrepico (overshoot) nunca desaparece; se concentra en un punto cada vez más estrecho, pero su altura converge aproximadamente al 9% del tamaño del salto. Las series de Fourier tienen serios problemas para lidiar con discontinuidades en el dominio temporal.

[!infobox] Ejercicio 4: Series Trigonométricas y Reconstrucción Contexto: Síntesis temporal de señales periódicas a partir de sus armónicos limitados y análisis de espectro. Resolución Analítica/Numérica: Se sumaron los primeros $N=20$ armónicos usando bucles for en Python respetando los coeficientes de Euler. Se ploteó en paralelo el dominio temporal y el dominio discreto ($n$). Advertencia/Clave: Observar la relación entre la "suavidad" de la curva en el tiempo y el decaimiento de los coeficientes en frecuencia. Saltos abruptos (cuadrada) $\implies$ decaimiento lento ($1/n$) $\implies$ sufre de Fenómeno de Gibbs. Curvas continuas sin saltos (triangular) $\implies$ decaimiento rápido ($1/n^2$) $\implies$ converge casi perfecto con pocos armónicos. ¡La naturaleza no acepta discontinuidades gratis!