Resolución Ejercicio 10 - Ecuación de Laplace por Separación de Variables

a) Desarrollo Analítico: Resolviendo la EDP

Este problema nos exige hallar el potencial eléctrico $V(x,y)$ en la región $x > 0$, $0 < y < a$. La ecuación que rige el potencial en una región libre de cargas es la Ecuación de Laplace (Laplaciano nulo):

$$\nabla^2 V = \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} = 0$$

Las condiciones de borde (frontera) dictadas por el problema físico son:

1. Placa inferior a tierra: $V(x, 0) = 0$
2. Placa superior a tierra: $V(x, a) = 0$
3. Potencial nulo en el infinito: $\lim_{x \to \infty} V(x, y) = 0$
4. Ranura izquierda a potencial constante: $V(0, y) = V_0(y) = 1\text{ V}$

Método de Separación de Variables

Proponemos que la solución es el producto de dos funciones independientes: $V(x,y) = X(x)Y(y)$. Reemplazando en la EDP y dividiendo por $XY$, obtenemos dos ecuaciones diferenciales ordinarias igualadas a una constante de separación, que llamaremos $k^2$ (elegimos signo positivo para que $X$ tenga soluciones exponenciales y $Y$ trigonométricas):

$$\frac{X''}{X} = -\frac{Y''}{Y} = k^2$$

Resolviendo para Y(y): $Y'' + k^2 Y = 0 \implies Y(y) = A \sin(ky) + B \cos(ky)$ Aplicando las condiciones 1 y 2:

• $Y(0) = 0 \implies B = 0$
• $Y(a) = 0 \implies A \sin(ka) = 0 \implies k_n = \frac{n\pi}{a}$ para $n=1,2,3,\dots$

Resolviendo para X(x): $X'' - k^2 X = 0 \implies X(x) = C e^{kx} + D e^{-kx}$ Aplicando la condición 3 (decaer en el infinito):

• $\lim_{x \to \infty} X(x) = 0 \implies C = 0$

Por lo tanto, la solución para el armónico $n$-ésimo es:

$$V_n(x,y) = C_n e^{-\frac{n\pi}{a}x} \sin\left(\frac{n\pi}{a}y\right)$$

Superposición y Serie de Fourier: La solución general es la combinación lineal de todos los armónicos posibles:

$$V(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n e^{-\frac{n\pi}{a}x} \sin\left(\frac{n\pi}{a}y\right)$$

Para hallar $C_n$, aplicamos la última condición de borde ($x=0$):

$$V(0,y) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n \sin\left(\frac{n\pi}{a}y\right) = V_0$$

Esto no es más que una Serie de Fourier en senos para la función constante $f(y) = V_0$. Calculando el coeficiente por ortogonalidad:

$$C_n = \frac{2}{a} \int_0^a V_0 \sin\left(\frac{n\pi}{a}y\right) dy = \frac{2V_0}{n\pi} \left[ 1 - \cos(n\pi) \right]$$

Sabiendo que $\cos(n\pi)$ es 1 para pares y -1 para impares, el corchete vale 0 para pares y 2 para impares. Por lo tanto: $C_n = \frac{4V_0}{n\pi}$ si $n$ es impar, y $0$ si $n$ es par.

Solución Final:

$$V(x,y) = \frac{4V_0}{\pi} \sum_{n \text{ impar}} \frac{1}{n} e^{-\frac{n\pi}{a}x} \sin\left(\frac{n\pi}{a}y\right)$$

b) Simulación Numérica del Potencial

Utilizamos Python (ejercicio10.py) para sumar los primeros 50 términos (armónicos impares) de esta serie analítica sobre una malla de puntos $(x,y)$.

Al graficar el mapa de calor:

Comprobamos físicamente que:

• En $x=0$, el potencial trata de mantenerse en $1\text{ V}$ formando un perfil casi cuadrado (salvo por un pequeñísimo Gibbs en las esquinas contra las placas a $0\text{ V}$).
• Al alejarnos en el eje $X$ (crece $x$), la exponencial decreciente $e^{-\frac{n\pi}{a}x}$ mata los armónicos superiores casi instantáneamente.
• Muy rápido (ya para $x > 0.5$), el único término que sobrevive con fuerza es la fundamental ($n=1$), por lo que el perfil vertical pasa de ser una onda cuadrada plana a un domo suave (senoide pura).
• Para distancias largas, todo el potencial se disipa a tierra.

[!infobox] Ejercicio 10: Ecuación de Laplace y EDPs Contexto: Solución de problemas de condiciones de frontera en EDPs. Resolución Analítica: Se aplicó Separación de Variables asumiendo $V(x,y)=X(x)Y(y)$. Las condiciones de Dirichlet a tierra (0 V) en $y=0, a$ fuerzan una solución sinusoidal en $Y$, lo que a su vez fuerza una caída exponencial pura en $X$. El coeficiente de cada armónico decae como $1/n$ y en el espacio la caída es brutal por la exponencial negativa $e^{-kx}$. Advertencia/Clave: Este ejercicio es la prueba magna de por qué es inútil estudiar series de Fourier en el vacío temporal. Toda la teoría de Fourier fue creada originalmente para resolver exactamente este problema (distribución de calor/potencial en estado estacionario), ¡no para procesar audio o analizar señales! Las autofunciones que surgen de forzar el borde a cero son, inherentemente, senos y cosenos.