Práctica 2: Análisis de Fourier - Resoluciones

Ejercicio 1.1: $f(x) = x^2$ en $(-\pi, \pi)$

Marco Teórico Previo

Antes de hacer una sola cuenta, definamos las herramientas que vamos a usar:

• Serie Trigonométrica de Fourier: Dada una función $f(x)$ periódica de período $T=2\pi$ e integrable en $(-\pi, \pi)$, su serie de Fourier se define como:

$$S(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)$$

• Coeficientes de Euler-Fourier: Los escalares $a_0, a_n, b_n$ son la "sombra" (proyección ortogonal) de la función $f(x)$ sobre la base de senos y cosenos. Se calculan mediante:

$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx$$ $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \quad \forall n \in \mathbb{N}$$ $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \quad \forall n \in \mathbb{N}$$

• Paridad de Funciones:
  • Una función es par si $f(x) = f(-x)$. En un intervalo simétrico $[-L, L]$, $\int_{-L}^{L} f(x)dx = 2\int_{0}^{L} f(x)dx$.
  • Una función es impar si $f(-x) = -f(x)$. En un intervalo simétrico, $\int_{-L}^{L} f(x)dx = 0$.
• Criterio M de Weierstrass: Si tenemos una serie de funciones $\sum u_n(x)$ y logramos encontrar una sucesión de números positivos $M_n$ tal que $|u_n(x)| \leq M_n$ para todo $x$ en el dominio, y además la serie numérica $\sum M_n$ converge, entonces $\sum u_n(x)$ converge uniformemente.

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Intuición Didáctica

Imaginate la parábola $f(x) = x^2$ entre $-\pi$ y $\pi$. Al hacer su serie de Fourier, estamos creando una "extensión periódica" de esta parábola. Es decir, vamos a tener una onda infinita formada por "U"s pegadas una al lado de la otra.

Como la parábola original es simétrica respecto al eje Y (es una función par), tiene sentido geométrico que podamos reconstruirla usando solamente funciones pares. ¿Cuáles son las funciones trigonométricas pares? Los cosenos. Por ende, desde antes de calcular nada, ya sabemos que todos los coeficientes de los senos ($b_n$) tienen que dar cero. Si en el parcial te da distinto de cero, frenás y revisás, porque violaste la geometría del problema.

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Resolución Rigurosa (Estilo Examen)

Paso 1: Cálculo del coeficiente $a_0$ Por definición:

$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx$$

Como $f(x) = x^2$ es una función par (ya que $(-x)^2 = x^2$), por propiedad de integración en intervalos simétricos:

$$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \, dx$$

Por la regla de potencias para la integral (Teorema Fundamental del Cálculo):

$$a_0 = \frac{2}{\pi} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\pi} = \frac{2}{\pi} \left( \frac{\pi^3}{3} - 0 \right) = \frac{2\pi^2}{3}$$

Paso 2: Cálculo de los coeficientes $a_n$ Por definición:

$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx$$

Analizamos la paridad del integrando: $x^2$ es par, y $\cos(nx)$ es par. El producto de dos funciones pares es una función par. Luego, aplicando la misma propiedad de simetría:

$$a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx$$

Esta integral requiere el método de Integración por Partes. Recordamos la fórmula: $\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du$. Elegimos:

• $u = x^2 \implies du = 2x \, dx$
• $dv = \cos(nx) \, dx \implies v = \frac{\sin(nx)}{n}$

Aplicamos la fórmula:

$$a_n = \frac{2}{\pi} \left( \left[ x^2 \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} 2x \frac{\sin(nx)}{n} \, dx \right)$$

Evaluamos el primer término en los límites. Para $x=\pi$, tenemos $\pi^2 \frac{\sin(n\pi)}{n}$. Como $n$ es un número entero, $\sin(n\pi) = 0$ estrictamente. Para $x=0$, tenemos $0$. Por lo tanto, el término de frontera se anula.

$$a_n = \frac{2}{\pi} \left( 0 - \frac{2}{n} \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) \, dx \right) = -\frac{4}{n\pi} \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) \, dx$$

Nos queda otra integral por partes. Elegimos:

• $u = x \implies du = dx$
• $dv = \sin(nx) \, dx \implies v = -\frac{\cos(nx)}{n}$

Aplicamos integración por partes nuevamente:

$$a_n = -\frac{4}{n\pi} \left( \left[ -x \frac{\cos(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \left(-\frac{\cos(nx)}{n}\right) \, dx \right)$$

Evaluamos el término de frontera:

$$-\left( \pi \frac{\cos(n\pi)}{n} - 0 \right) = -\frac{\pi (-1)^n}{n}$$

(Nota rigurosa: $\cos(n\pi) = (-1)^n$ por propiedades elementales del círculo trigonométrico para $n \in \mathbb{Z}$). Ahora integramos el segundo término:

$$+ \frac{1}{n} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) \, dx = \frac{1}{n} \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} = 0$$

(Nuevamente, $\sin(n\pi)=0$ y $\sin(0)=0$). Reemplazando todo en la expresión de $a_n$:

$$a_n = -\frac{4}{n\pi} \left( -\frac{\pi (-1)^n}{n} + 0 \right) = \frac{4\pi (-1)^n}{n^2 \pi} = \frac{4(-1)^n}{n^2}$$

Paso 3: Cálculo de los coeficientes $b_n$ Por definición:

$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin(nx) \, dx$$

Análisis de paridad: $x^2$ es par y $\sin(nx)$ es impar. El producto de una función par por una impar da como resultado una función impar. Por propiedad de la integral definida de una función impar en un intervalo simétrico respecto al origen, la integral es exactamente nula.

$$b_n = 0$$

Paso 4: Ensamblaje de la Serie de Fourier Reemplazamos en la serie original:

$$S(x) = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$$

Paso 5: Análisis de Convergencia (Criterio de Weierstrass) Sea el término general de nuestra serie de funciones $u_n(x) = \frac{4(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$. Queremos acotar su valor absoluto:

$$|u_n(x)| = \left| \frac{4(-1)^n}{n^2} \cos(nx) \right| = \frac{4}{n^2} |\cos(nx)|$$

Como sabemos que el coseno está acotado tal que $|\cos(nx)| \leq 1 \quad \forall x \in \mathbb{R}$, entonces:

$$|u_n(x)| \leq \frac{4}{n^2}$$

Llamemos $M_n = \frac{4}{n^2}$. Observamos la serie numérica $\sum_{n=1}^{\infty} M_n = 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$. Esta es una serie armónica generalizada (o $p$-serie) con exponente $p=2$. Como $p > 1$, por el criterio de la integral, la serie converge. Por lo tanto, al haber encontrado una sucesión mayorante convergente $M_n$, el criterio de Weierstrass asegura que la serie de Fourier converge uniformemente en todo $\mathbb{R}$.

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Nota para Obsidian

[!infobox] Ejercicio 1.1: Serie de Fourier de f(x) = x² en (-π, π)
Contexto: Cálculo de coeficientes de Fourier, paridad de funciones y Convergencia Uniforme (Weierstrass).
Enunciado: Calcular los coeficientes de Fourier de la función periódica $f(x) = x^2$ en $(-\pi, \pi)$ y determinar convergencia uniforme mediante Weierstrass.

Demostración Rigurosa:
1. a_0: Como x² es par, a_0 = (2/π) ∫[0 a π] x² dx = (2/π)[x³/3] = 2π²/3.
2. a_n: Por paridad (par * par = par), a_n = (2/π) ∫[0 a π] x² cos(nx) dx.
   Aplicando partes dos veces (u=x², dv=cos(nx)dx y luego u=x, dv=sin(nx)dx):
   a_n = (-4/(nπ)) ∫[0 a π] x sin(nx) dx = (-4/(nπ)) [ -π (-1)^n / n ] = 4(-1)ⁿ / n².
3. b_n: Integrando impar (x² * sin(nx)) en dominio simétrico (-π, π) ⇒ b_n = 0.
4. Serie: S(x) = π²/3 + Σ [ 4(-1)ⁿ / n² ] cos(nx).
5. Weierstrass: |u_n(x)| = |4(-1)ⁿ cos(nx) / n²| ≤ 4/n². 
   Como Σ 4/n² es una p-serie convergente (p=2 > 1), la serie converge uniformemente ∀ x ∈ R.

Advertencia/Clave: ¡No calcules integrales a lo bruto! Analizar la paridad de la función ANTES de integrar te salva de calcular b_n por partes y equivocarte en los signos. Recordar que cos(nπ) = (-1)ⁿ y sin(nπ) = 0 es fundamental.

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Ejercicio 1.2: $f(x) = x^2$ en $(0, 2\pi)$

Intuición Didáctica

A simple vista, es la misma función, pero el intervalo de definición cambió. Esto es crítico: la extensión periódica ya no es una onda continua de parábolas simétricas, sino una parábola que sube hasta $4\pi^2$ y cae abruptamente a cero. Al perder la simetría par respecto al origen, van a aparecer los senos y la serie convergerá más lento.

Resolución Rigurosa

1. Coeficiente $a_0$:

$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} x^2 \, dx = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{8\pi^2}{3}$$

2. Coeficiente $a_n$:

$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} x^2 \cos(nx) \, dx$$

Aplicando partes (mismo procedimiento algebraico que en 1.1):

$$a_n = \frac{1}{\pi} \left( \left[ x^2 \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^{2\pi} - \int_0^{2\pi} 2x \frac{\sin(nx)}{n} dx \right) = -\frac{2}{n\pi} \int_0^{2\pi} x \sin(nx) dx$$

Aplicando partes nuevamente:

$$a_n = -\frac{2}{n\pi} \left( \left[ -x \frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^{2\pi} + \int_0^{2\pi} \frac{\cos(nx)}{n} dx \right) = -\frac{2}{n\pi} \left( -\frac{2\pi}{n} \right) = \frac{4}{n^2}$$

3. Coeficiente $b_n$:

$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} x^2 \sin(nx) \, dx$$

Aplicando partes una vez:

$$b_n = \frac{1}{\pi} \left( \left[ -x^2 \frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^{2\pi} + \int_0^{2\pi} 2x \frac{\cos(nx)}{n} dx \right)$$

Evaluamos el primer término: $-\frac{4\pi^2}{n}$. La integral restante da cero evaluada entre $0$ y $2\pi$.

$$b_n = -\frac{4\pi}{n}$$

4. Análisis de convergencia (Weierstrass): El término general tiene amplitudes $|a_n| \propto \frac{1}{n^2}$ y $|b_n| \propto \frac{1}{n}$. La serie de los módulos está dominada por $\sum \frac{1}{n}$, que es la serie armónica divergente. Por ende, no se cumple el criterio de Weierstrass para asegurar convergencia uniforme (lo cual tiene sentido porque la extensión periódica es discontinua en $x = 2k\pi$).

Nota para Obsidian

[!infobox] Ejercicio 1.2: f(x) = x² en (0, 2π)
Contexto: Traslación de dominio y discontinuidades en la extensión periódica.
Demostración Rigurosa:
1. a_0 = (1/π) ∫[0 a 2π] x² dx = 8π²/3.
2. a_n = (1/π) ∫[0 a 2π] x² cos(nx) dx = 4/n² (por partes).
3. b_n = (1/π) ∫[0 a 2π] x² sin(nx) dx = -4π/n (por partes).
Advertencia/Clave: Al cambiar el intervalo a [0, 2π], se pierde la simetría. Los b_n ya no son cero y caen como 1/n. Weierstrass falla porque la serie armónica diverge. Geométricamente: la función tiene saltos en los extremos, impidiendo convergencia uniforme (Fenómeno de Gibbs).

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Ejercicio 1.3: $f(x) = |\sin x|$ en $(-\pi, \pi)$

Intuición Didáctica

La función módulo "pliega" la parte negativa del seno hacia arriba. Resulta en una onda tipo rectificador de onda completa. Es una función par, así que $b_n = 0$. Además, como no tiene saltos, intuimos que la serie convergerá bien.

Resolución Rigurosa

1. Coeficientes $b_n$: Por paridad, $b_n = 0$. 2. Coeficiente $a_0$:

$$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = \frac{2}{\pi} [-\cos x]_0^\pi = \frac{4}{\pi}$$

3. Coeficiente $a_n$:

$$a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x \cos(nx) \, dx$$

Usamos la identidad trigonométrica $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$:

$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} [\sin((1+n)x) + \sin((1-n)x)] \, dx$$

Si $n=1$, $a_1 = 0$. Para $n > 1$:

$$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{\cos((1+n)x)}{1+n} - \frac{\cos((1-n)x)}{1-n} \right]_0^\pi$$

Recordando que $\cos(k\pi) = (-1)^k$, operamos y llegamos a que para $n$ impar, el corchete se anula ($a_n = 0$). Para $n$ par ($n=2k$):

$$a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2 - 1)}$$

4. Weierstrass: $|a_{2k}| \leq \frac{4}{\pi(4k^2 - 1)} \sim O\left(\frac{1}{k^2}\right)$. Como $\sum \frac{1}{k^2}$ converge, Weierstrass asegura convergencia uniforme.

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Ejercicio 1.4: $f(x) = e^{ax}$ en $(-\pi, \pi)$ con $a \neq 0$

Resolución Rigurosa

Fórmula directa para integración: $\int e^{ax}\cos(nx)dx = \frac{e^{ax}}{a^2+n^2}(a\cos(nx) + n\sin(nx))$.

$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{ax} dx = \frac{e^{a\pi} - e^{-a\pi}}{a\pi} = \frac{2\sinh(a\pi)}{a\pi}$$ $$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{e^{ax}}{a^2+n^2}(a\cos(nx) + n\sin(nx)) \right]_{-\pi}^\pi = \frac{2a (-1)^n \sinh(a\pi)}{\pi(a^2+n^2)}$$ $$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{e^{ax}}{a^2+n^2}(a\sin(nx) - n\cos(nx)) \right]_{-\pi}^\pi = -\frac{2n (-1)^n \sinh(a\pi)}{\pi(a^2+n^2)}$$

Análisis de convergencia: $|b_n| \sim O(1/n)$ para $n$ grande. Al ser una cota armónica, la serie mayorante diverge y Weierstrass no garantiza convergencia uniforme. Esto concuerda con la discontinuidad de salto en los bordes (pues $e^{a\pi} \neq e^{-a\pi}$).

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Ejercicio 1.5: $f(x) = \cos(ax)$ en $(-\pi, \pi)$ con $a$ no entero

Resolución Rigurosa

Función par, por ende $b_n = 0$.

$$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \cos(ax) dx = \frac{2\sin(a\pi)}{a\pi}$$

Para $a_n$, usamos la identidad de producto a suma: $\cos(ax)\cos(nx) = \frac{1}{2}[\cos((a+n)x) + \cos((a-n)x)]$.

$$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\sin((a+n)\pi)}{a+n} + \frac{\sin((a-n)\pi)}{a-n} \right]$$

Como $\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$, se reduce a:

$$a_n = \frac{2a(-1)^n \sin(a\pi)}{\pi(a^2-n^2)}$$

Weierstrass: $|a_n| \sim O(1/n^2)$. Garantiza convergencia uniforme (la extensión periódica es continua ya que $\cos(-a\pi) = \cos(a\pi)$).

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Ejercicio 1.6: $f(x) = \sin(ax)$ en $(-\pi, \pi)$ con $a$ no entero

Resolución Rigurosa

Función impar, $a_n = 0$. Desarrollando de manera análoga al anterior (usando identidad para producto de senos $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$):

$$b_n = \frac{2n(-1)^{n+1} \sin(a\pi)}{\pi(n^2-a^2)}$$

Weierstrass: $|b_n| \sim O(1/n)$. Falla el criterio, la serie armónica diverge. Geométricamente, la extensión periódica es discontinua en los extremos ya que $\sin(a\pi) \neq \sin(-a\pi)$.

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Ejercicio 1.7: $f(x) = (\pi - x)\sin x$ en $(-\pi, \pi)$

Resolución Rigurosa

Separamos por linealidad: $f(x) = \pi\sin x - x\sin x$. $\pi\sin x$ es una función impar, $-x\sin x$ es par. Integramos usando propiedades de simetría. Para $a_n$ (solo la parte par sobrevive):

$$a_n = -\frac{2}{\pi} \int_0^\pi x\sin x \cos(nx) dx = (-1)^n \frac{2}{n^2-1} \quad (n \neq 1)$$

Para $n=1$, resolviendo la integral da $a_1 = 1/2$. Y el caso base da $a_0 = -2$. Para $b_n$ (solo la parte impar sobrevive):

$$b_1 = \pi, \quad b_{n>1} = 0$$

Weierstrass: Los coeficientes caen como $O(1/n^2)$ para $a_n$ y los $b_n$ se anulan. Esto garantiza convergencia uniforme (la función original vale cero en ambos extremos, garantizando continuidad en la extensión periódica).

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Ejercicio 1.8: $f(x) = 0$ si $x \in (-\pi, 0)$, $x$ si $x \in (0, \pi)$

Resolución Rigurosa

Cálculo directo separando integrales (la parte de $[-\pi, 0]$ aporta cero):

$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x dx = \frac{\pi}{2}$$ $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x \cos(nx) dx = \frac{(-1)^n - 1}{\pi n^2}$$ $$b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi x \sin(nx) dx = \frac{(-1)^{n+1}}{n}$$

Weierstrass: $|b_n| \sim O(1/n)$. Falla el criterio. Existe un claro salto discontinuo en $x=\pi$ (salta de $\pi$ a $0$).

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Ejercicio 1.9: $f(x) = -e^{-x}$ si $x \in (-\pi, 0)$, $e^x$ si $x \in (0, \pi)$

Resolución Rigurosa

Notemos la simetría: para $x > 0$, $f(-x) = -e^{-(-x)} = -e^x = -f(x)$. ¡Es una función impar! Por lo tanto $a_n = 0$. Calculamos los coeficientes del seno aprovechando la simetría par del producto:

$$b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi e^x \sin(nx) dx = \frac{2n(1 - (-1)^n e^\pi)}{\pi(1+n^2)}$$

Weierstrass: Evaluando el módulo, $|b_n| \sim O(1/n)$. Falla el criterio. Existe discontinuidad en el origen (salto de $-1$ a $1$) y en los bordes.