Ejercicio 5

$M$ masa población / $\dot{M} = rM \left( \frac{K-M}{K+aM} \right)$ , $r, K, a > 0$. $\implies$ Puntos de equilibrio y estabilidad.

Puntos de equilibrio:

$$\dot{M} = 0 = rM \left( \frac{K-M}{K+aM} \right) \implies \begin{cases} M = 0 \\ \frac{K-M}{K+aM} = 0 \implies M = K \quad (M \neq -K/a) \end{cases}$$

Estabilidad (derivada respecto a M):

$$\frac{d(\dot{M})}{dM} = r \left( \frac{K-M}{K+aM} \right) + rM \left( \frac{-(K+aM) - (K-M)a}{(K+aM)^2} \right)$$ $$= r \left( \frac{K-M}{K+aM} \right) - \frac{rM(K+aM)}{(K+aM)^2} - \frac{rM(K-M)a}{(K+aM)^2}$$ $$= r \left( \frac{K-M}{K+aM} - \frac{M}{K+aM} - \frac{M(K-M)a}{(K+aM)^2} \right)$$ $$= r \left( \frac{K-M}{K+aM} - \frac{M}{K+aM} \left( 1 + \frac{(K-M)a}{K+aM} \right) \right)$$

Evaluando en los puntos de equilibrio:

• Para $M=0$:

$$\to r \left[ \frac{K-0}{K} - \frac{0}{K} \left( 1 + \frac{Ka}{K} \right) \right] = rK > 0 \implies \text{inestable}$$

• Para $M=K$:

$$\to r \left[ \frac{K-K}{K+aK} - \frac{K}{K+aK} (1 + 0) \right] = \frac{-rK}{K(1+a)} = \frac{-r}{1+a} < 0 \implies \text{estable}$$

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Mi resolución: Ejercicio 5 - Dinámica Poblacional (Daphnia Magna)

1. Definición del Modelo

Se propone un modelo de dinámica poblacional para la masa $M$ de una población de crustáceos, dado por la ecuación diferencial ordinaria (EDO) autónoma:

$$\dot{M} = f(M) = rM \left( \frac{K - M}{K + aM} \right)$$

Donde los parámetros $r, K, a$ son constantes reales positivas ($r, K, a > 0$). Por tratarse de una masa poblacional, consideramos el dominio $M \ge 0$.

2. Hallazgo de los Puntos de Equilibrio

Los puntos de equilibrio $M^*$ son aquellos estados donde la tasa de cambio es nula, es decir, $f(M^*) = 0$.

$$rM^* \left( \frac{K - M^*}{K + aM^*} \right) = 0$$

Dado que $r > 0$ y el denominador $K + aM^*$ es siempre positivo para $M \ge 0$, la condición de equilibrio se reduce a que el numerador sea cero:

$$M^* (K - M^*) = 0$$

De aquí obtenemos dos soluciones:

1. $M_1^* = 0$: Estado de extinción.
2. $M_2^* = K$: Estado de saturación o capacidad de carga.

3. Análisis de Estabilidad Local

Para determinar la estabilidad, utilizaremos el Criterio de Linealización. Necesitamos calcular la derivada de la función de flujo $f(M)$ respecto a $M$ y evaluarla en cada punto crítico.

3.1 Cálculo de la derivada $f'(M)$

Reescribimos $f(M)$ para facilitar la derivación:

$$f(M) = r \frac{KM - M^2}{K + aM}$$

Aplicamos la regla del cociente $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

• $u = r(KM - M^2) \implies u' = r(K - 2M)$
• $v = K + aM \implies v' = a$

$$f'(M) = \frac{r(K - 2M)(K + aM) - r(KM - M^2)(a)}{(K + aM)^2}$$

Desarrollamos el numerador:

$$\text{Num} = r \left[ (K^2 + aKM - 2MK - 2aM^2) - (aKM - aM^2) \right]$$ $$\text{Num} = r \left[ K^2 - MK - aM^2 \right]$$

Por lo tanto:

$$f'(M) = r \frac{K^2 - MK - aM^2}{(K + aM)^2}$$

3.2 Evaluación de estabilidad en $M_1^* = 0$

$$f'(0) = r \frac{K^2 - 0 - 0}{(K + 0)^2} = r \frac{K^2}{K^2} = r$$

Como $r > 0$:

• Conclusión: El equilibrio en $M_1^* = 0$ es Inestable.

3.3 Evaluación de estabilidad en $M_2^* = K$

$$f'(K) = r \frac{K^2 - K(K) - aK^2}{(K + aK)^2} = r \frac{K^2 - K^2 - aK^2}{(K(1+a))^2}$$ $$f'(K) = \frac{- r a K^2}{K^2 (1 + a)^2} = - \frac{ra}{(1+a)^2}$$

Dado que $r, a > 0$, el valor resultante es estrictamente negativo ($f'(K) < 0$):

• Conclusión: El equilibrio en $M_2^* = K$ es Asintóticamente Estable.

4. Interpretación Biológica

• El punto $M=0$ es un repulsor; esto significa que cualquier pequeña población inicial crecerá y se alejará de la extinción.
• El punto $M=K$ es un atractor; la masa poblacional tenderá a estabilizarse en el valor $K$ independientemente de si la masa inicial es ligeramente superior o inferior. El parámetro $a$ modifica la "velocidad" con la que se alcanza este equilibrio en comparación con el modelo logístico estándar.