Ejercicio 4

Planteo del sistema: $S$ sanos, $I$ infectados, $R$ recuperados, $M$ muertos. $N$ personas sanas y no hay infectados inicialmente.

$$\begin{cases} \dot{S} = -aS \\ \dot{R} = bI \\ \dot{M} = cI \end{cases}$$ $$S + I + R + M = N \implies \dot{S} + \dot{I} + \dot{R} + \dot{M} = 0$$ $$\implies \dot{I} = -\dot{S} - \dot{R} - \dot{M}$$ $$\dot{I} = aS - bI - cI = aS - I(b+c)$$

Resolución:

1. $\dot{S} = -aS \implies$ propongo $S(t) = K e^{-at} \implies \dot{S} = -a K e^{-at}$ $S(0) = N = K \implies S(t) = N e^{-at}$

2. Reemplazo $S(t)$ en la ecuación de $I$:

$$\implies \dot{I} + I(b+c) = a N e^{-at}$$

Factor integrante: $\mu(t) = e^{(b+c)t}$

$$\implies I(t) = e^{-(b+c)t} \left( \int e^{(b+c)t} a N e^{-at} dt + K \right)$$ $$I = K e^{-(b+c)t} + e^{-(b+c)t} (aN) \int e^{(b+c-a)t} dt$$ $$= e^{-(b+c)t} \left( K + aN \frac{e^{(b+c-a)t}}{b+c-a} \right)$$ $$= K e^{-(b+c)t} + \frac{aN}{b+c-a} e^{-at}$$

Evaluando en $t=0$:

$$I(0) = 0 = K + \frac{aN}{b+c-a} \implies K = -\frac{aN}{b+c-a}$$ $$\implies I(t) = \frac{aN}{b+c-a} \left( e^{-at} - e^{-(b+c)t} \right)$$

3. Reemplazo $I(t)$ para hallar $M(t)$:

$$\frac{dM}{dt} = c \cdot I \implies M(t) = \int c \cdot \frac{aN}{b+c-a} \left(e^{-at} - e^{-(b+c)t}\right) dt$$ $$M(t) = \frac{c \cdot a \cdot N}{b+c-a} \int \left(e^{-at} - e^{-(b+c)t}\right) dt$$ $$= \frac{c \cdot a \cdot N}{b+c-a} \left( \frac{e^{-at}}{-a} - \frac{e^{-(b+c)t}}{-(b+c)} + K \right)$$

Evaluando en $t=0$:

$$M(0) = \frac{c \cdot a \cdot N}{b+c-a} \left( -\frac{1}{a} + \frac{1}{b+c} + K \right) = 0$$ $$\implies K = \frac{1}{a} - \frac{1}{b+c} = \frac{b+c-a}{a(b+c)}$$ $$\implies M(t) = \frac{c \cdot a \cdot N}{b+c-a} \left( \frac{e^{-(b+c)t}}{b+c} - \frac{e^{-at}}{a} + \frac{b+c-a}{a(b+c)} \right)$$ $$= \frac{c \cdot a \cdot N}{b+c-a} \left( \frac{1}{a}(1 - e^{-at}) + \frac{1}{b+c}\left(e^{-(b+c)t} - 1\right) \right) \checkmark$$

Análisis de por qué no es realista: No es realista pues:

• La tasa de infección estaría influenciada por los infectados.
• No se consideran migraciones / nacimientos.
• Ignora incubación.
• Recuperados sin inmunidad.

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Mi resolución: Ejercicio 4, Guía 1 - Epidemia Lineal

1. Definición de Variables y Sistema de EDOs

Definimos las variables de estado (compartimentos poblacionales) dependientes del tiempo $t$:

• $S(t)$: Número de personas Sanas.
• $I(t)$: Número de personas Infectadas.
• $M(t)$: Número de Muertes.

Planteamos el sistema de ecuaciones diferenciales usando el principio de conservación elemental de dinámica poblacional (Derivada = Tasa de Entrada - Tasa de Salida):

$$S'(t) = -a S(t)$$ $$I'(t) = a S(t) - (b+c) I(t)$$ $$M'(t) = c I(t)$$

Interpretación Biológica/Física: Notemos que la tasa de infección depende exclusivamente de la población sana (término $a S$). No hay un término de interacción $S \cdot I$ como en el modelo SIR clásico. Matemáticamente esto hace al sistema lineal, pero físicamente describe una situación donde el riesgo es un factor constante del ambiente (ej. radiación, exposición a un gas tóxico) en lugar de un contagio de persona a persona.

Condiciones iniciales (Problema de Valor Inicial - PVI):

• $S(0) = N$ (Población sana inicial)
• $I(0) = 0$ (Cero enfermos inicialmente)
• $M(0) = 0$ (Cero muertes inicialmente)

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Para responder lo que pide el ejercicio (hallar el número de muertes $M(t)$), no podemos resolver la EDO 3 de la nada, porque necesitamos saber quién es $I(t)$. Y para saber quién es $I(t)$, primero necesitamos resolver la EDO 1 para saber quién es $S(t)$. Es una cascada

Entonces, tenemos que empezar por la primera, usando el dato de que inicialmente hay $N$ personas sanas:

2. Resolución Analítica del Sistema

Paso 2.1: Dinámica de las personas Sanas $S(t)$

Es una EDO a variables separables:

$$S'(t) = -a S(t)$$ $$\frac{dS}{dt} = -a S$$ $$\int \frac{dS}{S} = \int -a dt$$ $$\ln(S) = -at + C_1$$ $$S(t) = e^{-at + C_1} = C \cdot e^{-at}$$

Aplicamos la condición inicial $S(0) = N$:

$$N = C \cdot e^{0} \implies C = N$$

Solución 1:

$$S(t) = N e^{-at}$$

Interpretación: La población sana decae de forma exponencial pura. Como nadie "entra" a la caja de sanos (no hay nacimientos ni pérdida de inmunidad), el tanque se vacía asintóticamente. Para $t \to \infty$, no quedan individuos sanos.

Paso 2.2: Dinámica de las personas Infectadas $I(t)$

Sustituimos $S(t)$ en la segunda ecuación del sistema:

$$I'(t) = a N e^{-at} - (b+c) I(t)$$ $$I'(t) + (b+c) I(t) = a N e^{-at}$$

Esta es una EDO lineal de primer orden no homogénea. Resolvemos multiplicando por el factor integrante $\mu(t) = e^{\int (b+c) dt} = e^{(b+c)t}$:

$$I'(t) e^{(b+c)t} + (b+c) I(t) e^{(b+c)t} = a N e^{-at} e^{(b+c)t}$$

El lado izquierdo es exactamente la derivada de un producto:

$$(I(t) e^{(b+c)t})' = a N e^{(b+c-a)t}$$

Integramos respecto a $t$ (asumiendo el caso general donde $a \neq b+c$):

$$I(t) e^{(b+c)t} = \int a N e^{(b+c-a)t} dt$$ $$I(t) e^{(b+c)t} = \frac{a N}{b+c-a} e^{(b+c-a)t} + K$$

Despejamos $I(t)$:

$$I(t) = \frac{a N}{b+c-a} e^{-at} + K e^{-(b+c)t}$$

Aplicamos la condición inicial $I(0) = 0$:

$$0 = \frac{a N}{b+c-a} \cdot 1 + K \cdot 1 \implies K = -\frac{a N}{b+c-a}$$

Solución 2:

$$I(t) = \frac{a N}{b+c-a} \left( e^{-at} - e^{-(b+c)t} \right)$$

Interpretación: La curva de carga de infectados responde a una resta de exponenciales. Partiendo de cero, crece hasta alcanzar un pico máximo epidémico y luego decae a cero a medida que la gente fluye hacia los tanques de recuperados o muertos.

Paso 2.3: Dinámica de las Muertes $M(t)$

Sustituimos $I(t)$ en la última ecuación. Al ser $M'(t)$ una función que solo depende de $t$, basta con integrar directamente:

$$M'(t) = c I(t)$$ $$M(t) = \int_0^t c I(\tau) d\tau$$ $$M(t) = \frac{c a N}{b+c-a} \int_0^t \left( e^{-a\tau} - e^{-(b+c)\tau} \right) d\tau$$

Calculamos la integral definida usando la Regla de Barrow:

$$M(t) = \frac{c a N}{b+c-a} \left[ \frac{e^{-a\tau}}{-a} - \frac{e^{-(b+c)\tau}}{-(b+c)} \right]_0^t$$

Evaluando el límite superior $t$ y restando la evaluación en el límite inferior $0$:

$$M(t) = \frac{c a N}{b+c-a} \left( \left( \frac{e^{-at}}{-a} + \frac{e^{-(b+c)t}}{b+c} \right) - \left( \frac{1}{-a} + \frac{1}{b+c} \right) \right)$$

Acomodando los signos y términos algebraicamente, llegamos a la respuesta final pedida en el enunciado:

Solución 3:

$$M(t) = \frac{c a N}{b+c-a} \left( \frac{1 - e^{-at}}{a} - \frac{1 - e^{-(b+c)t}}{b+c} \right)$$

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3. Análisis Crítico del Modelo (Respuestas teóricas)

• ¿Es este modelo realista? Para una epidemia causada por un patógeno contagioso humano , no es realista. Asume que la probabilidad de infección de un individuo sano es independiente de la cantidad de enfermos circulantes en la población.

• ¿Qué otros factores deben ser tenidos en cuenta?

  1. Interacción S-I: La tasa de contagio debe modelarse mediante una ley de acción de masas, siendo proporcional a los encuentros entre sanos e infectados ($S \cdot I$), lo cual introduce la no linealidad(preguntar)
  2. Tasa de contacto efectiva: Ponderar la probabilidad de que un encuentro resulte efectivamente en transmisión del patógeno.
  3. Dinámica vital / Inmunidad: En períodos largos, se deberían incluir tasas de natalidad, mortalidad natural, o la pérdida paulatina de la inmunidad adquirida (modelo SIRS).