Ejercicio 3

Planteo: Tanques A y B con volumen $V$, llenos con agua en $t_0=0$ / $t>0$, solución de volumen $v$ y masa $m$ fluye a A por seg / mezcla fluye A $\to$ B a la misma tasa / mezcla fluye de B a la misma tasa.

$$\frac{d\sigma_A}{dt} + \frac{v}{V}\sigma_A = \frac{m}{V} \quad , \quad \frac{d\sigma_B}{dt} + \frac{v}{V}\sigma_B = \frac{v}{V}\sigma_A \implies m_B(t) = \frac{mV}{v} \left(1 - e^{-vt/V}\right) - mte^{-vt/V}$$

Resolución para el tanque A:

$$\sigma_A' + \frac{v}{V}\sigma_A = \frac{m}{V}$$ $$\sigma_A' = \frac{m}{V} - \frac{v}{V}\sigma_A$$ $$\frac{d\sigma_A}{dt} = \frac{m}{V} - \frac{v}{V}\sigma_A$$ $$\int \frac{d\sigma_A}{\frac{m}{V} - \frac{v}{V}\sigma_A} = \int dt$$ $$-\frac{V}{v} \int \frac{-\frac{v}{V} d\sigma_A}{\frac{m}{V} - \frac{v}{V}\sigma_A} = t + c$$ $$-\frac{V}{v} \ln\left(\sigma_A - \frac{v}{V}\right) = t + c \implies \ln(...) = -\frac{v}{V}t + \tilde{c}$$ $$\sigma_A(t) - \frac{m}{v} = K e^{-vt/V}$$ $$\sigma_A(t) = K e^{-vt/V} + m/v$$

Condición inicial: $\sigma_A(0) = 0 = K + m/v \implies K = -m/v$

$$\implies \sigma_A(t) = \frac{m}{v} \left(1 - e^{-vt/V}\right)$$

Resolución para el tanque B:

$$\implies \sigma_B' + \frac{v}{V}\sigma_B = \frac{v}{V} \frac{m}{v} \left(1 - e^{-vt/V}\right) = \frac{m}{V}\left(1 - e^{-vt/V}\right)$$

Recordatorio de factor integrante usado: $x' + P(t)x = Q(t)$, $\mu(t) = e^{\int P(t) dt}$ $\implies \mu x' + \mu P x = \mu Q \implies (\mu x)' = \mu Q \implies x(t) = \frac{1}{\mu(t)} \left( \int \mu(t)Q(t) dt + C \right)$

$$\implies \mu(t) = e^{\int \frac{v}{V} dt} = e^{vt/V}$$ $$\sigma_B(t) = \frac{1}{e^{vt/V}} \left( \int e^{vt/V} \frac{m}{V} \left(1 - e^{-vt/V}\right) dt + c \right)$$ $$= e^{-vt/V} \left( \int \frac{m}{V} e^{vt/V} dt - \int \frac{m}{V} dt \right)$$ $$= e^{-vt/V} c + e^{-vt/V} \left( \frac{m}{V} \frac{V}{v} e^{vt/V} - \frac{m}{V} t \right)$$ $$= \tilde{c} e^{-vt/V} + \frac{m}{v} - \frac{m}{V} t e^{-vt/V}$$

Condición inicial: $\sigma_B(0) = 0 = \tilde{c} + \frac{m}{v} - 0 \implies \tilde{c} = -m/v$

$$\implies \sigma_B(t) = -\frac{m}{v} e^{-vt/V} + \frac{m}{v} - \frac{m}{V} t e^{-vt/V}$$

Multiplicando por el volumen $V$ para hallar la masa:

$$\implies m_B(t) = V \sigma_B(t) = -V \frac{m}{v} e^{-vt/V} + V \frac{m}{v} - \frac{Vm}{V} t e^{-vt/V}$$ $$\implies m_B(t) = \frac{mV}{v} \left(1 - e^{-vt/V}\right) - mte^{-vt/V}$$

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Mi resolución

Objetivo: Demostrar que la masa del soluto en el tanque B, dadas las ecuaciones de concentración y las condiciones iniciales, está dada por:

$$M_B(t) = \frac{mV}{v}\left(1 - e^{-vt/V}\right) - mte^{-vt/V}$$

1. Modelado y Resolución del Tanque A

La dinámica de la concentración en el tanque A está gobernada por la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) lineal de primer orden:

$$\frac{d\sigma_A}{dt} + \frac{v}{V}\sigma_A = \frac{m}{V}$$

Dado que el tanque comienza lleno de agua pura en $t=0$, establecemos nuestro Problema de Valor Inicial (PVI) con la condición:

$$\sigma_A(0) = 0$$

Método de Resolución (Factor Integrante):

Buscamos un factor integrante $\mu(t) = e^{\int P(t)dt}$, donde $P(t) = \frac{v}{V}$.

$$\mu(t) = e^{\frac{v}{V}t}$$

Multiplicamos toda la EDO por $\mu(t)$ para transformar el miembro izquierdo en la derivada de un producto:

$$e^{\frac{v}{V}t}\frac{d\sigma_A}{dt} + e^{\frac{v}{V}t}\frac{v}{V}\sigma_A = e^{\frac{v}{V}t}\frac{m}{V}$$ $$\frac{d}{dt}\left(\sigma_A \cdot e^{\frac{v}{V}t}\right) = \frac{m}{V}e^{\frac{v}{V}t}$$

Integramos ambos miembros con respecto al tiempo $t$:

$$\sigma_A \cdot e^{\frac{v}{V}t} = \int \frac{m}{V}e^{\frac{v}{V}t} dt$$ $$\sigma_A \cdot e^{\frac{v}{V}t} = \frac{m}{V} \left(\frac{V}{v}e^{\frac{v}{V}t}\right) + C = \frac{m}{v}e^{\frac{v}{V}t} + C$$

Despejamos la concentración $\sigma_A(t)$:

$$\sigma_A(t) = \frac{m}{v} + C e^{-\frac{v}{V}t}$$

Aplicamos la condición inicial $\sigma_A(0) = 0$ para hallar la constante $C$:

$$0 = \frac{m}{v} + C e^0 \implies C = -\frac{m}{v}$$

Por lo tanto, la función de concentración para el Tanque A es:

$$\sigma_A(t) = \frac{m}{v}\left(1 - e^{-\frac{v}{V}t}\right)$$

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2. Modelado y Resolución del Tanque B

La EDO para la concentración en el tanque B acopla la salida del tanque A como su término fuente:

$$\frac{d\sigma_B}{dt} + \frac{v}{V}\sigma_B = \frac{v}{V}\sigma_A$$

Sustituimos la solución hallada $\sigma_A(t)$ en la EDO de B:

$$\frac{d\sigma_B}{dt} + \frac{v}{V}\sigma_B = \frac{v}{V} \left[ \frac{m}{v}\left(1 - e^{-\frac{v}{V}t}\right) \right]$$ $$\frac{d\sigma_B}{dt} + \frac{v}{V}\sigma_B = \frac{m}{V} - \frac{m}{V}e^{-\frac{v}{V}t}$$

Nuevamente, el tanque arranca con agua pura, por lo que la condición inicial es:

$$\sigma_B(0) = 0$$

Resolución:

Como el lado izquierdo de la ecuación es idéntico al del tanque A, el factor integrante es el mismo: $\mu(t) = e^{\frac{v}{V}t}$. Multiplicamos toda la ecuación:

$$e^{\frac{v}{V}t}\frac{d\sigma_B}{dt} + e^{\frac{v}{V}t}\frac{v}{V}\sigma_B = \frac{m}{V}e^{\frac{v}{V}t} - \frac{m}{V}e^{-\frac{v}{V}t}e^{\frac{v}{V}t}$$ $$\frac{d}{dt}\left(\sigma_B \cdot e^{\frac{v}{V}t}\right) = \frac{m}{V}e^{\frac{v}{V}t} - \frac{m}{V}$$

Integramos respecto a $t$:

$$\sigma_B \cdot e^{\frac{v}{V}t} = \int \left( \frac{m}{V}e^{\frac{v}{V}t} - \frac{m}{V} \right) dt$$ $$\sigma_B \cdot e^{\frac{v}{V}t} = \frac{m}{v}e^{\frac{v}{V}t} - \frac{m}{V}t + K$$

Despejamos $\sigma_B(t)$:

$$\sigma_B(t) = \frac{m}{v} - \frac{m}{V}t e^{-\frac{v}{V}t} + K e^{-\frac{v}{V}t}$$

Evaluamos con la condición inicial $\sigma_B(0) = 0$ para hallar la constante $K$:

$$0 = \frac{m}{v} - 0 + K e^0 \implies K = -\frac{m}{v}$$

Reemplazamos $K$ y agrupamos términos:

$$\sigma_B(t) = \frac{m}{v} - \frac{m}{v}e^{-\frac{v}{V}t} - \frac{m}{V}t e^{-\frac{v}{V}t}$$ $$\sigma_B(t) = \frac{m}{v}\left(1 - e^{-\frac{v}{V}t}\right) - \frac{m}{V}t e^{-\frac{v}{V}t}$$

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3. Demostración de la Masa en el Tanque B

La relación fundamental entre concentración, masa y volumen es:

$$\sigma(t) = \frac{M(t)}{V} \implies M(t) = \sigma(t) \cdot V$$

Multiplicando nuestra expresión de $\sigma_B(t)$ por el volumen $V$:

$$M_B(t) = V \left[ \frac{m}{v}\left(1 - e^{-\frac{v}{V}t}\right) - \frac{m}{V}t e^{-\frac{v}{V}t} \right]$$

Distribuyendo la constante $V$, obtenemos la expresión final solicitada (Q.E.D.):

$$M_B(t) = \frac{mV}{v}\left(1 - e^{-vt/V}\right) - mte^{-vt/V}$$

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4. Análisis e Interpretación Física del Modelo

A. El Efecto de Retraso e Inercia

Podemos reescribir la concentración en B en función de la de A:

$$\sigma_B(t) = \sigma_A(t) - \frac{m}{V}t e^{-\frac{v}{V}t}$$

El término restado es estrictamente positivo para todo $t > 0$. Esto indica que $\sigma_B(t) < \sigma_A(t)$ durante todo el régimen transitorio. Físicamente, el tanque B exhibe una inercia frente al soluto: debe esperar a que la mezcla en el tanque A adquiera concentración antes de comenzar a recibir soluto significativamente.

B. Comportamiento Asintótico (Estado Estacionario)

Al evaluar el límite de ambas concentraciones cuando $t \to \infty$:

• En el tanque A: $\lim_{t \to \infty} \sigma_A(t) = \frac{m}{v}$

• En el tanque B, debido a que la exponencial domina sobre la función lineal $t$, el término inercial se anula: $\lim_{t \to \infty} \sigma_B(t) = \frac{m}{v}$

Conclusión: A largo plazo (estado estacionario), el sistema "olvida" las condiciones iniciales (agua pura). El volumen total de agua es completamente lavado y reemplazado, alcanzando ambos tanques un equilibrio dinámico donde la concentración interna iguala a la concentración del flujo de entrada original ($m/v$).