Ejercicio: El forense y la Ley de Enfriamiento de Newton

[!info] Enunciado Un médico forense es llamado a la escena de un asesinato. La temperatura del cuerpo al momento de hallarlo es de 24°C y una hora más tarde la temperatura cayó a 21°C. Si la temperatura en el cuarto en la que el cuerpo fue encontrado estuvo constantemente a 20°C, ¿cuánto tiempo pasó desde el asesinato hasta que el cuerpo fue hallado?

Asumir que el cuerpo obedece la ley de enfriamiento de Newton:

$$\frac{dT}{dt} = \beta(T - T_R)$$

donde $T$ es la temperatura del cuerpo, $\beta$ es una constante y $T_R$ es la temperatura del cuarto.

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1. Planteo y Resolución de la EDO

Sabemos que la temperatura de la habitación es constante: $T_R = 20^\circ C$. Reemplazando en la ecuación de Newton, tenemos una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de variables separables:

$$\frac{dT}{dt} = \beta(T - 20)$$

Separando variables e integrando a ambos lados:

$$\int \frac{1}{T - 20} dT = \int \beta \, dt$$ $$\ln|T - 20| = \beta t + C$$

Aplicando la función exponencial ($e^x$) a ambos lados para despejar $T$:

$$|T - 20| = e^{\beta t + C} = e^{\beta t} \cdot e^C$$

Absorbiendo la constante $e^C$ y el signo del valor absoluto en una nueva constante $k$, obtenemos la solución general:

$$T(t) = 20 + k \cdot e^{\beta t}$$

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2. Calibración del Modelo (Condiciones Iniciales)

Para hallar $k$ y $\beta$, fijamos nuestro marco de referencia temporal. Definimos $t = 0$ (en horas) como el instante exacto en que el forense encuentra el cuerpo.

Dato 1: Al hallar el cuerpo, la temperatura es de 24°C.

$$T(0) = 24 \implies 20 + k \cdot e^{\beta \cdot 0} = 24$$ $$20 + k(1) = 24 \implies \mathbf{k = 4}$$

Actualizamos el modelo: $T(t) = 20 + 4e^{\beta t}$

Dato 2: Una hora más tarde, la temperatura cayó a 21°C.

$$T(1) = 21 \implies 20 + 4e^{\beta(1)} = 21$$ $$4e^{\beta} = 1$$ $$e^{\beta} = \frac{1}{4} \implies \mathbf{\beta = \ln\left(\frac{1}{4}\right)}$$

[!note] Chequeo Físico Como $\ln(1/4) \approx -1.38$, la constante $\beta$ es negativa, lo cual es coherente con un proceso de enfriamiento (decaimiento exponencial).

El modelo específico para esta escena del crimen es:

$$T(t) = 20 + 4 \cdot e^{\ln(1/4) t}$$

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3. Estimación del tiempo del asesinato

Para saber cuánto tiempo pasó desde el asesinato, necesitamos buscar el instante $t_{muerte}$ en el que el cuerpo estaba a su temperatura normal en vida (asumimos 37°C).

Igualamos el modelo a 37°C y despejamos $t$:

$$37 = 20 + 4 \cdot e^{\ln(1/4) t}$$ $$17 = 4 \cdot e^{\ln(1/4) t}$$ $$\frac{17}{4} = e^{\ln(1/4) t}$$

Aplicando logaritmo natural:

$$\ln\left(\frac{17}{4}\right) = \ln\left(\frac{1}{4}\right) \cdot t$$ $$t = \frac{\ln(17/4)}{\ln(1/4)} \approx \mathbf{-1.0437 \text{ horas}}$$

[!check] Sanity Check (Chequeo de cordura) El resultado de $t$ es negativo. Esto es matemáticamente correcto y esperado, ya que significa que el evento ocurrió antes de nuestro $t=0$ (el momento del hallazgo).

Conclusión

El tiempo transcurrido desde el asesinato hasta el hallazgo es de aproximadamente 1.04 horas (es decir, $0.0437 \times 60 \approx 2.6$ minutos, o sea, 1 hora y 2 minutos y medio antes de que llegara el forense).