G9-Ej. 1 al 6

Esto NO ESTÁ CHEQUEADO. Esta hecho asi nomás. Si bien sirve para tener una idea de como se hacen, falta rigurosidad en estas. Cuando lo revise lo paso.

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Ejercicio 1: Funciones Simples y Valor Absoluto

1. 💡 Idea para encarar el ejercicio

Una función simple es aquella que toma solo una cantidad finita de valores y cada uno de esos valores "aterriza" en un conjunto medible.

Si $f$ toma los valores $\{c_1, \dots, c_n\}$, entonces $|f|$ tomará los valores $\{|c_1|, \dots, |c_n|\}$. Como el conjunto de valores sigue siendo finito, solo nos falta chequear que las preimágenes sean medibles. La intuición es: si sabes medir dónde $f$ vale 5 y dónde vale -5, al unirlos sabrás medir dónde $|f|$ vale 5.

2. Explicación paso a paso

Sea $f$ una función simple definida en un espacio medible $(X, \mathcal{A})$.

Por definición, el rango de $f$, denotado $Im(f)$, es un conjunto finito. Digamos $Im(f) = \{y_1, \dots, y_m\}$.

Además, los conjuntos $A_k = f^{-1}(\{y_k\}) = \{x \in X : f(x) = y_k\}$ pertenecen a la $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$ para todo $k$.

Analicemos la función $|f|$:

1. Rango Finito: La imagen de $|f|$ es el conjunto $\{|y_1|, \dots, |y_m|\}$, que es evidentemente finito.

2. Preimágenes Medibles: Sea $z \in Im(|f|)$. Queremos ver que $\{x : |f(x)| = z\} \in \mathcal{A}$.

   Los puntos donde $|f(x)| = z$ son aquellos donde $f(x) = z$ ó $f(x) = -z$.

$$|f|^{-1}(\{z\}) = f^{-1}(\{z\}) \cup f^{-1}(\{-z\})$$

- Si $z$ y $-z$ están en la imagen de $f$, ambos conjuntos preimagen son medibles por hipótesis. La unión de medibles es medible.
    
- Si alguno no está en la imagen, su preimagen es vacía (medible).
    

Conclusión: $|f|$ tiene rango finito y preimágenes medibles, por lo tanto, es simple.

3. Nota para Obsidian (Nivel Parcial)

Markdown

[!infobox] Proposición: El valor absoluto de una función simple es simple Contexto: Funciones Simples (Teoría de la Medida) Enunciado: Si $f: X \to \mathbb{R}$ es una función simple, entonces $|f|$ es una función simple. Clave: La unión finita de conjuntos medibles es medible.

Demostración: Sea $f$ una función simple. Entonces $Im(f) = \{c_1, \dots, c_n\}$ es finito y $A_k = f^{-1}(\{c_k\}) \in \mathcal{A}$ para todo $k$. Consideramos $|f|$. Su imagen es $Im(|f|) = \{|c_1|, \dots, |c_n|\}$, que es un conjunto finito. Para cualquier $r \in Im(|f|)$, la preimagen es:

$$\{x : |f(x)| = r\} = \{x : f(x) = r\} \cup \{x : f(x) = -r\}$$

Dado que $f$ es simple, $\{x : f(x) = r\}$ y $\{x : f(x) = -r\}$ pertenecen a $\mathcal{A}$ (si $r$ o $-r$ no están en $Im(f)$, el conjunto es $\emptyset \in \mathcal{A}$). Como $\mathcal{A}$ es una $\sigma$-álgebra, es cerrada bajo uniones finitas, por lo tanto $\{x : |f(x)| = r\} \in \mathcal{A}$. $\therefore |f|$ es simple.

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Ejercicio 2: Equivalencias de Medibilidad

1. 💡 Idea para encarar el ejercicio

Este es el Teorema de Caracterización de Funciones Medibles.

La definición formal usa la preimagen de conjuntos de Borel, pero en la práctica es difícil chequear "todos los conjuntos de Borel". Este ejercicio prueba que basta con chequear "rayos" (intervalos infinitos) como $(a, +\infty)$.

La estrategia es un ciclo de implicaciones usando las propiedades de la $\sigma$-álgebra:

• Complementos (para pasar de $>$ a $\le$).

• Uniones/Intersecciones numerables (para pasar de $\ge$ a $>$ usando límites, ej: $f(x) \ge a \iff \forall n, f(x) > a - 1/n$).

2. Explicación paso a paso

Vamos a probar $(a) \implies (b) \implies (d) \implies (c) \implies (a)$.

• (a) $\implies$ (b):

  Asumimos $\{x : f(x) > a\} \in \mathcal{A}$.

  Observamos que $\{x : f(x) \le a\}$ es exactamente el complemento del conjunto anterior.

$$\{f \le a\} = X \setminus \{f > a\}$$

Como $\mathcal{A}$ es $\sigma$-álgebra, es cerrada bajo complementos. $\therefore (b)$ vale.

• (b) $\implies$ (d):

  Asumimos $\{x : f(x) \le a\} \in \mathcal{A}$ para todo $a$.

  Queremos llegar a $\{f < a\}$.

  Observamos que "ser estrictamente menor que $a$" es lo mismo que "ser menor o igual que algo un poquito más chico que $a$, acercándonos por la izquierda".

$$\{f < a\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{x : f(x) \le a - \frac{1}{n}\}$$

Por hipótesis, cada conjunto de la unión está en $\mathcal{A}$. La unión numerable de medibles es medible. $\therefore (d)$ vale.

• (d) $\implies$ (c):

  Similar al primer paso. $\{f \ge a\} = X \setminus \{f < a\}$. Complemento de medible es medible.

• (c) $\implies$ (a):

  Similar al paso (b) -> (d), pero usando intersecciones.

  "Ser estrictamente mayor que $a$" es lo mismo que "ser mayor o igual que algo un poquito más grande que $a$".

$$\{f > a\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{x : f(x) \ge a + \frac{1}{n}\}$$

(Nota: También se puede hacer con intersecciones desde la izquierda, pero la unión desde la derecha es más directa aquí).

Unión numerable de medibles es medible. $\therefore (a)$ vale.

Conclusión final del ejercicio: Dado que la $\sigma$-álgebra de Borel $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ es generada por los intervalos $(a, \infty)$, si la preimagen de estos generadores es medible, la preimagen de cualquier Boreliano lo será.

3. Nota para Obsidian (Nivel Parcial)

Markdown

[!infobox] Teorema: Generadores de Medibilidad Contexto: Definición de Función Medible Enunciado: Sea $(X, \mathcal{A})$ un espacio medible. Las siguientes condiciones son equivalentes para $f: X \to \mathbb{R}$:

1. $f^{-1}((a, \infty)) \in \mathcal{A}, \forall a \in \mathbb{R}$.
2. $f^{-1}((-\infty, a]) \in \mathcal{A}, \forall a \in \mathbb{R}$.
3. $f^{-1}([a, \infty)) \in \mathcal{A}, \forall a \in \mathbb{R}$.
4. $f^{-1}((-\infty, a)) \in \mathcal{A}, \forall a \in \mathbb{R}$.

Clave: Usar que $\mathcal{A}$ es cerrada bajo complementos y uniones numerables. Escribir desigualdades estrictas como unión de no estrictas (principio de Arquímedes).

Demostración:

• $(a) \implies (b)$: $\{f \le a\} = \{f > a\}^c \in \mathcal{A}$.
• $(b) \implies (d)$: $\{f < a\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{f \le a - 1/n\} \in \mathcal{A}$.
• $(d) \implies (c)$: $\{f \ge a\} = \{f < a\}^c \in \mathcal{A}$.
• $(c) \implies (a)$: $\{f > a\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{f \ge a + 1/n\} \in \mathcal{A}$. $\blacksquare$

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Ejercicio 3: Conjuntos de Nivel y Comparación

1. 💡 Idea para encarar el ejercicio

• 3a: Un punto $\{a\}$ es la intersección de $x \ge a$ y $x \le a$.

• 3b: Comparar dos funciones ($f \le g$) es difícil directamente. El truco maestro en teoría de la medida es usar los racionales $\mathbb{Q}$. Si $f(x) > g(x)$, siempre puedes meter un racional en el medio ($f(x) > r > g(x)$). Esto convierte una condición continua en una unión numerable de condiciones simples.

• 3c: "Casi todo punto" significa que la excepción tiene medida cero. Si la medida es completa (como Lebesgue), cualquier subconjunto de lo nulo es medible.

2. Explicación paso a paso

• (a) $\{f=a\}$ es medible:

  Podemos escribir la igualdad como doble desigualdad:

$$\{f=a\} = \{f \ge a\} \cap \{f \le a\}$$

Si $f$ es medible, por el Ejercicio 2, ambos conjuntos de la derecha son medibles. La intersección de medibles es medible.

• (b) $\{f \le g\}$ es medible:

  Estrategia: Analicemos el complemento $\{f > g\}$.

  Si $f(x) > g(x)$, por la densidad de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$, existe un racional $r$ tal que $f(x) > r > g(x)$.

  Entonces:

$$\{x : f(x) > g(x)\} = \bigcup_{r \in \mathbb{Q}} (\{x : f(x) > r\} \cap \{x : g(x) < r\})$$

- $\{f > r\}$ es medible ( $f$ medible).
    
- $\{g < r\}$ es medible ($g$ medible).
    
- La intersección es medible.
    
- La unión es sobre $\mathbb{Q}$ (numerable), así que es medible.
    
    Finalmente, $\{f \le g\} = X \setminus \{f > g\}$, que es medible por ser complemento.
    

• (c) Igualdad casi en todas partes (c.t.p.):

  Sea $E$ el dominio. Sabemos que $f=g$ c.t.p., lo que implica que el conjunto de diferencias $D = \{x : f(x) \neq g(x)\}$ tiene medida nula ($\mu(D)=0$).

  Queremos ver si $g$ es medible. Miremos $\{g > a\}$.

  Descomponemos este conjunto en la parte "buena" (donde es igual a $f$) y la "mala" (donde difiere).

$$\{g > a\} = (\{g > a\} \cap D^c) \cup (\{g > a\} \cap D)$$

1. En $D^c$, $g=f$. Así que el primer término es $\{f > a\} \cap D^c$. Como $f$ es medible y $D^c$ es medible, la intersección lo es.
    
2. El segundo término $\{g > a\} \cap D$ es un subconjunto de $D$. Como $\mu(D)=0$, si asumimos que el espacio de medida es **completo** (como Lebesgue), todo subconjunto de un nulo es medible.
    
3. Unión de medibles es medible.
    

3. Nota para Obsidian (Nivel Parcial)

Markdown

[!infobox] Proposición: Propiedades de Funciones Medibles Contexto: Álgebra de funciones medibles Enunciado:

1. Si $f$ es medible, los conjuntos de nivel $\{f=a\}$ son medibles.
2. Si $f, g$ son medibles, el conjunto $\{f \le g\}$ es medible.
3. Si $f$ es medible y $f=g$ c.t.p. (en espacio completo), $g$ es medible.

Clave (b): Usar la densidad de $\mathbb{Q}$: $\{f > g\} = \bigcup_{r \in \mathbb{Q}} (\{f > r\} \cap \{g < r\})$.

Demostración (b): Queremos probar que $A = \{x : f(x) \le g(x)\} \in \mathcal{M}$. Consideramos el complemento $A^c = \{x : f(x) > g(x)\}$. Para cada $x \in A^c$, existe $r \in \mathbb{Q}$ tal que $f(x) > r > g(x)$. Podemos escribir:

$$A^c = \bigcup_{r \in \mathbb{Q}} ( \{x : f(x) > r\} \cap \{x : g(x) < r\} )$$

Como $f$ y $g$ son medibles, los conjuntos $\{f>r\}$ y $\{g<r\}$ pertenecen a $\mathcal{M}$. La intersección es medible. La unión es numerable (pues $\mathbb{Q}$ lo es), por tanto $A^c \in \mathcal{M}$. Finalmente, $A = (A^c)^c \in \mathcal{M}$.

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Ejercicio 4: Aritmética de Funciones Medibles

1. 💡 Idea para encarar el ejercicio

Queremos ver que si operamos funciones medibles, el resultado sigue siendo medible.

• Suma: Usamos el truco de los racionales de nuevo. $f+g > a \iff f > a - g$. Similar a comparar funciones.

• Escalar: Si $\alpha = 0$, es la función constante 0 (medible). Si no, solo es dividir la desigualdad por $\alpha$.

• Cuadrado: Si $f$ es medible, componerla con una función continua (como $x^2$) preserva medibilidad. O verlo como preimagen: $\{f^2 > a\} = \{f > \sqrt{a}\} \cup \{f < -\sqrt{a}\}$.

• Producto: Usar la identidad algebraica (sugerencia) que expresa el producto como sumas y cuadrados.

2. Explicación paso a paso

• (a) $f+g$:

  $\{f(x) + g(x) > a\} \iff \{f(x) > a - g(x)\}$.

  Llamemos $h(x) = a - g(x)$. Como $g$ es medible, $-g$ es medible (caso particular de producto por escalar -1, ver abajo) y constante $a$ es medible, la suma es medible (espera, esto es circular si no probamos suma primero).

  Mejor vía: Racionales.

  $f(x) + g(x) > a \iff f(x) > a - g(x)$. Existe $r \in \mathbb{Q}$ tal que $f(x) > r > a - g(x)$.

$$\{f+g > a\} = \bigcup_{r \in \mathbb{Q}} (\{f > r\} \cap \{g > a-r\})$$

Todo término es medible $\implies$ suma es medible.

• (b) $\alpha f$:

  Caso $\alpha = 0$: función nula (medible).

  Caso $\alpha > 0$: $\{\alpha f > a\} = \{f > a/\alpha\}$ (medible por def).

  Caso $\alpha < 0$: $\{\alpha f > a\} = \{f < a/\alpha\}$ (medible por Ejercicio 2).

• (c) $f^2$:

  Sea $a \in \mathbb{R}$.

  Si $a < 0$: $\{f^2 > a\}$ es todo el dominio $E$ (siempre $\ge 0 > a$). Medible.

  Si $a \ge 0$: $\{f^2 > a\} = \{f > \sqrt{a}\} \cup \{f < -\sqrt{a}\}$. Ambos son medibles por Ejercicio 2.

• (d) $f \cdot g$:

  Usamos la sugerencia (identidad de polarización modificada):

$$f \cdot g = \frac{1}{4} [ (f+g)^2 - (f-g)^2 ]$$

(Nota: La imagen dice dividido 2, pero algebraicamente $(f+g)^2 - (f-g)^2 = 4fg$, así que debería ser sobre 4. Si la imagen tiene un 2, calcularía $2fg$. Como multiplicar por escalar 1/2 es medible, no afecta la prueba).

Cadena lógica:

1. $f, g$ medibles $\implies f+g, f-g$ medibles (por punto a y b).
    
2. Cuadrados de medibles son medibles (por punto c).
    
3. Resta de medibles es medible (por a y b).
    
4. Multiplicación por escalar (1/4 o 1/2) es medible.
    
    $\therefore f \cdot g$ es medible.
    

3. Nota para Obsidian (Nivel Parcial)

Markdown

[!infobox] Proposición: Álgebra de Funciones Medibles Contexto: Operaciones con funciones Enunciado: Si $f, g$ son medibles y $\alpha \in \mathbb{R}$:

1. $f + g$ es medible.
2. $\alpha f$ es medible.
3. $f^2$ es medible.
4. $f \cdot g$ es medible.

Clave (Suma): $\{f+g > a\} = \bigcup_{r \in \mathbb{Q}} (\{f > r\} \cap \{g > a-r\})$. Clave (Producto): Usar $fg = \frac{1}{4}((f+g)^2 - (f-g)^2)$.

Demostración (Suma): Sea $a \in \mathbb{R}$. Observamos que $f(x) + g(x) > a \iff f(x) > a - g(x)$. Por la densidad de $\mathbb{Q}$, esto ocurre si y solo si existe $r \in \mathbb{Q}$ tal que $f(x) > r > a - g(x)$. Esto equivale a $f(x) > r$ y $g(x) > a - r$. Por lo tanto:

$$\{x : (f+g)(x) > a\} = \bigcup_{r \in \mathbb{Q}} ( \{f > r\} \cap \{g > a-r\} )$$

Dado que $f, g$ son medibles, las preimágenes son medibles. La intersección y la unión numerable preservan medibilidad.

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Ejercicio 5: Funciones Monótonas

1. 💡 Idea para encarar el ejercicio

Las funciones monótonas son muy "nobles". Si una función sube todo el tiempo (creciente), el conjunto de puntos donde la función es mayor que 5 ($f(x) > 5$) no puede ser un conjunto salpicado. Tiene que ser un intervalo (o semirrecta) del tipo $(x_0, \infty)$ o $[x_0, \infty)$.

Como los intervalos son conjuntos de Borel (y por ende medibles Lebesgue), la función es medible.

2. Explicación paso a paso

Supongamos sin pérdida de generalidad que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es monótona creciente.

Analicemos el conjunto $E_a = \{x \in \mathbb{R} : f(x) > a\}$.

1. Si $E_a$ es vacío (nunca supera a $a$) o todo $\mathbb{R}$, es medible.

2. Si no, sea $x_0 \in E_a$. Como $f$ es creciente, para todo $y > x_0$, tenemos $f(y) \ge f(x_0) > a$.

   Esto significa que si un punto está en el conjunto, todos los de su derecha también.

3. Los únicos subconjuntos de $\mathbb{R}$ con la propiedad "si $x \in S \implies [x, \infty) \subseteq S$" son los intervalos de la forma $(c, \infty)$ o $[c, \infty)$.

   • Sea $c = \inf E_a$.

   • Entonces $E_a$ será $(c, \infty)$ o $[c, \infty)$.

4. En ambos casos, estos intervalos son conjuntos de Borel.

5. Como la $\sigma$-álgebra de Lebesgue contiene a los Borelianos, $E_a \in \mathcal{M}$.

   $\therefore f$ es medible.

3. Nota para Obsidian (Nivel Parcial)

Markdown

[!infobox] Proposición: Medibilidad de Funciones Monótonas Contexto: Ejemplos de funciones medibles Enunciado: Toda función monótona $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es medible Borel (y Lebesgue). Clave: Las preimágenes de intervalos de la forma $(a, \infty)$ bajo una función monótona son siempre intervalos (rayos), los cuales son medibles.

Demostración: Asumamos $f$ creciente. Sea $a \in \mathbb{R}$ y consideremos $S = \{x : f(x) > a\}$. Si $S = \emptyset$ o $S = \mathbb{R}$, es medible. Si no, sea $c = \inf S$. Dado que $f$ es creciente, si $x \in S$, entonces para todo $y > x$, $f(y) \ge f(x) > a$, luego $y \in S$. Esto implica que $S$ es un intervalo infinito que comienza en $c$. $S$ puede ser $(c, \infty)$ o $[c, \infty)$. En cualquier caso, $S$ es un conjunto de Borel, por lo tanto $S \in \mathcal{M}$. Conclusión: $f$ es medible.

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Ejercicio 6: Continuidad y Medibilidad

1. 💡 Idea para encarar el ejercicio

• 6a: Definición topológica de continuidad: "La preimagen de un abierto es un abierto". Como los abiertos son medibles (generan Borel), listo.

• 6b: Si $f$ se rompe (discontinua) solo en un conjunto de medida nula, podemos dividir el dominio. En la parte "grande" es continua (medible). En la parte "nula", cualquier cosa es medible (por completitud).

2. Explicación paso a paso

• (a) Continua $\implies$ Medible:

  Sea $f$ continua. Para ver que es medible Borel, basta ver que $f^{-1}((a, \infty))$ es un Boreliano.

  El intervalo $(a, \infty)$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}$.

  Por definición de continuidad, la preimagen de un abierto es un abierto.

  Los conjuntos abiertos son Borelianos (elementos de $\mathcal{B}$).

  Por lo tanto, $f^{-1}((a, \infty)) \in \mathcal{B} \subseteq \mathcal{M}$.

• (b) Continua c.t.p. $\implies$ Medible:

  Sea $D$ el conjunto de discontinuidades con $\mu(D) = 0$.

  Sea $C = [0, 1] \setminus D$ el conjunto donde es continua.

  Queremos ver si $\{f > a\}$ es medible.

$$\{f > a\} = (\{f > a\} \cap C) \cup (\{f > a\} \cap D)$$

1. **Parte en $C$:** La restricción $f|_C$ es continua. El conjunto $\{x \in C : f(x) > a\}$ es la intersección de un abierto relativo con $C$. Como $C$ es medible (complemento de nulo) y abiertos son medibles, esta parte es medible.
    
2. **Parte en $D$:** $\{f > a\} \cap D$ es un subconjunto de $D$. Como $\mu(D)=0$, este subconjunto tiene medida nula (asumiendo espacio completo).
    
3. Unión de medibles es medible.
    

3. Nota para Obsidian (Nivel Parcial)

Markdown

[!infobox] Proposición: Continuidad y Medibilidad Contexto: Relación Topología-Medida Enunciado:

1. Toda función continua es medible Borel.
2. Toda función continua c.t.p. (el conjunto de discontinuidades es nulo) es medible Lebesgue (si el espacio es completo).

Clave: $f$ continua $\implies f^{-1}(\text{Abierto}) = \text{Abierto}$. Los abiertos son medibles.

Demostración (b): Sea $D$ el conjunto de puntos de discontinuidad con $\mu(D)=0$. Para cualquier abierto $O \subseteq \mathbb{R}$:

$$f^{-1}(O) = (f^{-1}(O) \cap D^c) \cup (f^{-1}(O) \cap D)$$

1. La restricción de $f$ a $D^c$ es continua. Por tanto, $f^{-1}(O) \cap D^c$ es un conjunto abierto en la topología relativa de $D^c$. Dado que $D^c$ es medible (Borel), este conjunto es medible.
2. El conjunto $f^{-1}(O) \cap D$ es un subconjunto de $D$. Como $\mu(D)=0$ y la medida de Lebesgue es completa, este conjunto es medible (y nulo). La unión de dos conjuntos medibles es medible.