G9 - E7

Enunciado: Dada una sucesión $(f_n)_n$ de funciones en $E$, consideremos las funciones:

$$S(x) = \sup_{n \in \mathbb{N}} f_n(x) \quad \text{y} \quad I(x) = \inf_{n \in \mathbb{N}} f_n(x)$$

Pruebe que si las funciones $f_n$ son medibles, entonces $S$ e $I$ también lo son.

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Demostración para el Supremo ($S$)

Objetivo: Probar que la función $S(x) = \sup_n f_n(x)$ es medible.

Recordemos que una función $f$ es medible si para todo número real $a$, el conjunto $\{x \in E : f(x) > a\}$ es medible (pertenece a la $\sigma$-álgebra).

1. Análisis de la condición $S(x) > a$:

   El supremo de un conjunto de números es estrictamente mayor que $a$ si y solo si al menos uno de los números del conjunto es mayor que $a$.

   Matemáticamente:

$$\sup_{n \in \mathbb{N}} f_n(x) > a \iff \exists n \in \mathbb{N} \text{ tal que } f_n(x) > a$$

2. Traducción a Conjuntos:

   Basándonos en la equivalencia anterior, el conjunto de puntos donde el supremo supera a $a$ es exactamente la unión de los conjuntos donde cada función individual supera a $a$.

$$\{x \in E : S(x) > a\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{x \in E : f_n(x) > a\}$$

3. Argumento de Medibilidad:

   • Por hipótesis, cada función $f_n$ es medible.

   • Por definición de medibilidad, para cada $n$, el conjunto $\{x : f_n(x) > a\}$ es un conjunto medible (pertenece a la $\sigma$-álgebra $\mathcal{M}$).

   • Una propiedad fundamental de las $\sigma$-álgebras es que son cerradas bajo uniones numerables.

   • Por lo tanto, la unión $\bigcup_{n=1}^{\infty} \{x : f_n(x) > a\}$ pertenece a $\mathcal{M}$.

   Conclusión:

   El conjunto $\{x \in E : S(x) > a\}$ es medible para todo $a \in \mathbb{R}$.

$$\therefore S \text{ es una función medible.}$$

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Demostración para el Ínfimo ($I$)

Objetivo: Probar que la función $I(x) = \inf_n f_n(x)$ es medible.

Podemos probarlo de forma análoga analizando el conjunto $\{x : I(x) < a\}$.

1. Análisis de la condición $I(x) < a$:

   El ínfimo de un conjunto de números es estrictamente menor que $a$ si y solo si al menos uno de los números es menor que $a$.

   (Si todos fueran mayores o iguales a $a$, el ínfimo sería mayor o igual a $a$).

   Matemáticamente:

$$\inf_{n \in \mathbb{N}} f_n(x) < a \iff \exists n \in \mathbb{N} \text{ tal que } f_n(x) < a$$

2. Traducción a Conjuntos:

   Esto significa que el conjunto donde el ínfimo es menor que $a$ es la unión de los conjuntos donde cada función es menor que $a$.

$$\{x \in E : I(x) < a\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{x \in E : f_n(x) < a\}$$

3. Argumento de Medibilidad:

   • Como cada $f_n$ es medible, el conjunto $\{x : f_n(x) < a\}$ es medible (usando la condición equivalente de medibilidad para intervalos del tipo $(-\infty, a)$).

   • Nuevamente, la unión numerable de conjuntos medibles es medible.

   • Por lo tanto, $\bigcup_{n=1}^{\infty} \{x : f_n(x) < a\} \in \mathcal{M}$.

   Conclusión:

   El conjunto $\{x \in E : I(x) < a\}$ es medible para todo $a \in \mathbb{R}$.

$$\therefore I \text{ es una función medible.}$$

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Método Alternativo para el Ínfimo

También es posible demostrar la medibilidad del ínfimo utilizando propiedades algebraicas y el resultado del supremo que ya probamos:

1. Sabemos que $\inf (A) = - \sup (-A)$.

2. Por lo tanto, $I(x) = \inf_n f_n(x) = - \sup_n (-f_n(x))$.

3. Si $f_n$ es medible, entonces $-f_n$ es medible (propiedad del producto por escalar).

4. Por la primera parte de este ejercicio, el supremo de funciones medibles ($\sup (-f_n)$) es medible.

5. Finalmente, el negativo de una función medible es medible.

$$\therefore I \text{ es medible.}$$