G9 - E6

Enunciado: Sea $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$ una función. Pruebe que:

(a) Si $f$ es continua en $[0, 1]$ , entonces es medible.

(b) Si $f$ es continua en casi todo punto de $[0, 1]$ (es decir, su conjunto de discontinuidades es nulo), entonces es medible.

Resolución Parte (a)

Objetivo: Demostrar que la continuidad implica medibilidad.

Definiciones Previas:

Función Medible: Una función $f$ es Borel-medible si la preimagen de cualquier conjunto abierto $U \subseteq \mathbb{R}$ es un conjunto de Borel en el dominio (es decir, pertenece a la $\sigma$ -álgebra $\mathcal{B}([0, 1])$ ).
Función Continua: Una función $f$ es continua si la preimagen de cualquier conjunto abierto $U \subseteq \mathbb{R}$ es un conjunto abierto en el dominio.

Demostración:

Sea $U$ un conjunto abierto cualquiera en $\mathbb{R}$ (por ejemplo, un intervalo $(a, \infty)$ ).
Por hipótesis, $f$ es una función continua.
Por la definición topológica de continuidad, la preimagen $f^{-1}(U)$ es un conjunto abierto en $[0, 1]$ .
La $\sigma$ -álgebra de Borel $\mathcal{B}$ es, por definición, la $\sigma$ -álgebra generada por los conjuntos abiertos. Esto implica que todo conjunto abierto es un conjunto de Borel.
Por lo tanto, $f^{-1}(U) \in \mathcal{B}([0, 1])$ .

Conclusión:

Como la preimagen de todo abierto es un conjunto medible, $f$ es medible.

Resolución Parte (b)

Objetivo: Demostrar que la continuidad "casi en todas partes" (c.t.p.) es suficiente para la medibilidad de Lebesgue.

Hipótesis:

Sea $D$ el conjunto de puntos de discontinuidad de $f$ .

La hipótesis nos dice que $D$ es un conjunto nulo, es decir, su medida de Lebesgue es cero: $\mu(D) = 0$ .

Concepto Clave (Teorema):

Para ser totalmente formales, necesitamos saber que el conjunto de discontinuidades $D$ es "bien comportado". Existe un teorema en análisis real que afirma que el conjunto de discontinuidades de cualquier función real es un conjunto $F_\sigma$ (una unión numerable de conjuntos cerrados).

Dado que los conjuntos cerrados son de Borel, cualquier unión numerable de ellos también lo es.
Por lo tanto, $D$ es un conjunto medible (Boreliano).
En consecuencia, el conjunto de puntos de continuidad $C = [0, 1] \setminus D$ también es medible (es un $G_\delta$ ).

Demostración:

Queremos probar que para cualquier $a \in \mathbb{R}$ , el conjunto $E_a = \{x \in [0, 1] : f(x) > a\}$ es medible (Lebesgue).

Descomposición del conjunto:

Podemos dividir el conjunto $E_a$ en dos partes: los puntos donde $f$ es continua y los puntos donde no lo es.

E_a = \{x \in C : f(x) > a\} \cup \{x \in D : f(x) > a\}

Llamemos $A = E_a \cap C$ y $B = E_a \cap D$.

2. Análisis de la parte continua ( $A$ ):

- Consideremos la restricción de $f$ al conjunto de continuidad $C$, denotada como $g = f|_C$.
    
- Por definición de $C$, la función $g$ es continua en el espacio métrico $C$.
    
- El conjunto $A$ es la preimagen del abierto $(a, \infty)$ bajo esta función continua $g$.
    
- Por la definición de continuidad en subespacios, $A$ debe ser un **abierto relativo** a $C$.
    
- Esto significa que existe un conjunto abierto $G \subseteq [0, 1]$ tal que $A = G \cap C$.
    
- Como $G$ es abierto (medible) y $C$ es medible (como vimos arriba), su intersección **$A$ es medible**.

3. Análisis de la parte discontinua ( $B$ ):

- El conjunto $B = \{x \in D : f(x) > a\}$ es un subconjunto de $D$.
    
- Sabemos que $\mu(D) = 0$.
    
- En la teoría de la medida de Lebesgue, el espacio es **completo**, lo que significa que **cualquier subconjunto de un conjunto de medida cero es medible** (y tiene medida cero).
    
- Por lo tanto, **$B$ es medible**.

4. Conclusión:

El conjunto original $E_a = A \cup B$ es la unión de dos conjuntos medibles.

Por lo tanto, $E_a$ es medible para todo $a \in \mathbb{R}$.

\therefore f \text{ es una función medible.}