G9 - E5

Enunciado: Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ monótona. Pruebe que $f$ es medible.

Contexto Teórico:

Una función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ se dice medible (Borel-medible) si para todo $a \in \mathbb{R}$, el conjunto preimagen $\{x \in \mathbb{R} : f(x) > a\}$ es un conjunto de Borel (es decir, pertenece a la $\sigma$-álgebra de Borel $\mathcal{B}(\mathbb{R})$).

Recordemos que todos los intervalos (abiertos, cerrados, semiabiertos, rayos infinitos) son conjuntos de Borel.

Una función monótona puede ser creciente o decreciente. Probaremos el caso creciente; el caso decreciente es análogo.

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Demostración

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $f$ es monótona creciente.

Esto significa que:

$$\forall x, y \in \mathbb{R}, \quad x \le y \implies f(x) \le f(y)$$

Para probar la medibilidad, utilizaremos la condición equivalente vista en el Ejercicio 2: basta probar que para todo $a \in \mathbb{R}$, el conjunto $E_a = \{x \in \mathbb{R} : f(x) > a\}$ es medible.

Paso 1: Análisis de la geometría del conjunto $E_a$

Analicemos la estructura del conjunto $E_a = \{x \in \mathbb{R} : f(x) > a\}$.

Dado que $f$ es creciente, si la función supera el valor $a$ en un punto $x_0$, debe superarlo también en cualquier punto a la derecha de $x_0$.

Formalmente:

Si $x_0 \in E_a$, entonces $f(x_0) > a$.

Sea $y > x_0$. Por ser $f$ creciente, $f(y) \ge f(x_0) > a$.

Por lo tanto, $y \in E_a$.

Esto implica que si el conjunto contiene un punto, contiene a toda la semirrecta a su derecha.

Las únicas posibilidades para la forma de $E_a$ son:

1. El conjunto vacío: Si $f(x)$ nunca supera $a$.

$$E_a = \emptyset$$

2. Todos los reales: Si $f(x)$ siempre es mayor que $a$.

$$E_a = \mathbb{R} = (-\infty, \infty)$$

3. Un rayo (semirrecta) hacia la derecha:

   Si el conjunto no es vacío ni todo $\mathbb{R}$, sea $c = \inf E_a$ (el ínfimo del conjunto).

   Dado el comportamiento monótono, el conjunto será el intervalo desde $c$ hasta infinito. La única duda es si incluye o no al punto $c$.

   • Si $c \in E_a$ (es decir, $f(c) > a$), entonces $E_a = [c, \infty)$.

   • Si $c \notin E_a$ (es decir, $f(c) \le a$), entonces $E_a = (c, \infty)$.

Paso 2: Argumento de Medibilidad

Ahora verificamos si estos posibles conjuntos pertenecen a la $\sigma$-álgebra de Borel $\mathcal{B}(\mathbb{R})$:

• Caso 1: El conjunto vacío $\emptyset$ es un conjunto de Borel.

• Caso 2: El conjunto $\mathbb{R}$ es un conjunto de Borel.

• Caso 3: Los intervalos $[c, \infty)$ y $(c, \infty)$ son conjuntos de Borel.

Como en cualquiera de los casos posibles $E_a$ resulta ser un conjunto de Borel, concluimos que la condición de medibilidad se cumple para todo $a \in \mathbb{R}$.

$$\therefore f \text{ es medible.}$$

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Nota sobre el caso decreciente

Si $f$ fuera monótona decreciente, podemos proceder de dos formas:

1. Argumento similar: El conjunto $\{x : f(x) > a\}$ sería un rayo hacia la izquierda (del tipo $(-\infty, c)$ o $(-\infty, c]$), que también son intervalos y por tanto medibles.

2. Usando propiedades algebraicas: Si $f$ es decreciente, entonces la función $g(x) = -f(x)$ es creciente.

   • Por la demostración anterior, $g$ es medible.

   • Por el Ejercicio 4 (propiedad b), sabemos que si $g$ es medible, entonces $(-1) \cdot g = f$ es medible.

Conclusión General:

Toda función monótona definida sobre un conjunto medible es una función medible.