G9 - E4

Enunciado: Sean $f, g: E \to \mathbb{R}$ funciones medibles. Pruebe que: (a) $f + g$ es medible. (b) $\alpha f$ es medible para todo $\alpha \in \mathbb{R}$. (c) $f^2$ es medible. (d) $f \cdot g$ es medible.

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Resolución Parte (a): Suma de Funciones

Objetivo: Probar que $f + g$ es medible. Debemos demostrar que para cualquier $a \in \mathbb{R}$, el conjunto $\{x \in E : f(x) + g(x) < a\}$ pertenece a la $\sigma$-álgebra $\mathcal{M}$.

1. Reescritura de la desigualdad:

$$f(x) + g(x) < a \iff f(x) < a - g(x)$$

Esta desigualdad implica que el valor $f(x)$ es estrictamente menor que el valor $a - g(x)$.

2. Uso de la densidad de $\mathbb{Q}$: Entre dos números reales distintos siempre existe un número racional. Si $f(x) < a - g(x)$, entonces existe un $q \in \mathbb{Q}$ tal que:

$$f(x) < q < a - g(x)$$

Esto equivale a que se cumplan simultáneamente dos condiciones:

$$f(x) < q \quad \text{y} \quad g(x) < a - q$$

3. Expresión como unión de conjuntos: Podemos escribir el conjunto original como la unión sobre todos los racionales de la intersección de estos eventos:

$$\{x : f(x) + g(x) < a\} = \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \left( \{x : f(x) < q\} \cap \{x : g(x) < a - q\} \right)$$

4. Justificación de la medibilidad:
   • Como $f$ es medible, $\{x : f(x) < q\} \in \mathcal{M}$.
   • Como $g$ es medible, $\{x : g(x) < a - q\} \in \mathcal{M}$.
   • La intersección de dos conjuntos medibles es medible.
   • La unión es sobre $\mathbb{Q}$, que es un conjunto numerable. Como una $\sigma$-álgebra es cerrada bajo uniones numerables, el conjunto resultante es medible.

$$\therefore f + g \text{ es medible.}$$

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Resolución Parte (b): Producto por Escalar

Objetivo: Probar que $\alpha f$ es medible para todo $\alpha \in \mathbb{R}$. Analizamos el conjunto $\{x \in E : \alpha f(x) < a\}$ dividiendo en casos según el signo de $\alpha$.

1. Caso 1: $\alpha = 0$ La función es $\alpha f(x) = 0$ (constante).

   • Si $a > 0$, el conjunto es todo $E$ (medible).
   • Si $a \le 0$, el conjunto es $\emptyset$ (medible).
   • Por tanto, es medible.

2. Caso 2: $\alpha > 0$ Podemos dividir la desigualdad por $\alpha$ sin cambiar el signo:

$$\{x : \alpha f(x) < a\} = \{x : f(x) < \frac{a}{\alpha}\}$$

Como $f$ es medible, la preimagen del intervalo $(-\infty, a/\alpha)$ es medible.

3. Caso 3: $\alpha < 0$ Al dividir por un número negativo, la desigualdad se invierte:

$$\{x : \alpha f(x) < a\} = \{x : f(x) > \frac{a}{\alpha}\}$$

Como $f$ es medible, la preimagen del intervalo $(a/\alpha, \infty)$ es medible (recordemos que $\{f > c\} \in \mathcal{M}$ es equivalente a $\{f < c\} \in \mathcal{M}$).

$$\therefore \alpha f \text{ es medible para todo } \alpha.$$

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Resolución Parte (c): Cuadrado de una Función

Objetivo: Probar que $f^2$ es medible. Sea $h(x) = (f(x))^2$. Analizamos $\{x \in E : h(x) < a\}$.

1. Caso $a \le 0$: Como un cuadrado siempre es no negativo, $f(x)^2 < a$ es imposible. El conjunto es $\emptyset$, que es medible.

2. Caso $a > 0$:

$$f(x)^2 < a \iff -\sqrt{a} < f(x) < \sqrt{a}$$

Esto se puede escribir como la intersección de dos condiciones:

$$\{x : f(x)^2 < a\} = \{x : f(x) < \sqrt{a}\} \cap \{x : f(x) > -\sqrt{a}\}$$

3. Justificación:
   • $\{x : f(x) < \sqrt{a}\} \in \mathcal{M}$ (por definición de medibilidad de $f$).
   • $\{x : f(x) > -\sqrt{a}\} \in \mathcal{M}$ (propiedad equivalente vista en ejercicios anteriores).
   • La intersección de conjuntos medibles es medible.

$$\therefore f^2 \text{ es medible.}$$

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Resolución Parte (d): Producto de Funciones

Objetivo: Probar que $f \cdot g$ es medible. Usaremos la sugerencia algebraica dada en el enunciado, que expresa el producto en términos de sumas y cuadrados.

1. Identidad Algebraica:

$$f \cdot g = \frac{1}{2} \left[ (f + g)^2 - (f - g)^2 \right]$$

*(Nota: Esto proviene de desarrollar $(f \pm g)^2 = f^2 \pm 2fg + g^2$ y restarlos).*

2. Construcción paso a paso: * Sabemos que $f$ y $g$ son medibles. * Por la parte (b) (con $\alpha = -1$), $-g$ es medible. * Por la parte (a), $f + g$ es medible y $f - g = f + (-g)$ es medible. * Por la parte (c), $(f+g)^2$ y $(f-g)^2$ son funciones medibles. * Por la parte (b) (con $\alpha = -1$), $-(f-g)^2$ es medible. * Por la parte (a), la suma de $(f+g)^2$ y $-(f-g)^2$ es medible. * Por la parte (b) (con $\alpha = 1/2$), multiplicar el resultado por $1/2$ mantiene la medibilidad.

3. Conclusión: Dado que $f \cdot g$ se construye mediante una combinación finita de operaciones (suma, producto por escalar, cuadrado) que preservan la medibilidad, concluimos:

$$\therefore f \cdot g \text{ es medible.}$$