G9 - E3

Enunciado: Sean $f, g: E \to \mathbb{R}$. Pruebe que:

(a) Si $f$ es medible, entonces $\{x \in E : f(x) = a\} \in \mathcal{M}$ para todo $a \in \mathbb{R}$.

(b) Si $f$ y $g$ son medibles, entonces $\{x \in E : f(x) \le g(x)\} \in \mathcal{M}$.

(c) Si $f$ es medible y $f(x) = g(x)$ para casi todo $x \in E$, entonces $g$ es medible.

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Resolución Parte (a)

Objetivo: Demostrar que la preimagen de un punto único $\{a\}$ es un conjunto medible.

Recordemos que una función $f$ es medible si la preimagen de cualquier intervalo de la forma $(-\infty, a]$, $(a, \infty)$, etc., pertenece a la $\sigma$-álgebra $\mathcal{M}$. (Como vimos en el Ejercicio 2, todas estas condiciones son equivalentes).

1. Expresión como intersección:

   Podemos expresar la igualdad $f(x) = a$ como la intersección de dos desigualdades:

$$f(x) = a \iff f(x) \ge a \quad \text{y} \quad f(x) \le a$$

En términos de conjuntos:

$$\{x \in E : f(x) = a\} = \{x \in E : f(x) \ge a\} \cap \{x \in E : f(x) \le a\}$$

2. Justificación de medibilidad:

   • Como $f$ es medible, el conjunto $\{x \in E : f(x) \ge a\}$ pertenece a $\mathcal{M}$ (Condición equivalente (c) del Ejercicio 2).

   • Como $f$ es medible, el conjunto $\{x \in E : f(x) \le a\}$ pertenece a $\mathcal{M}$ (Condición equivalente (b) del Ejercicio 2).

3. Propiedad de la $\sigma$-álgebra:

   Una $\sigma$-álgebra es cerrada bajo intersecciones (incluso numerables). Por lo tanto, la intersección de dos conjuntos medibles es un conjunto medible.

$$\therefore \{x \in E : f(x) = a\} \in \mathcal{M}$$

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Resolución Parte (b)

Objetivo: Demostrar que el conjunto donde $f$ es menor o igual a $g$ es medible.

Para comparar dos funciones $f$ y $g$ punto a punto, la estrategia estándar y más elegante utiliza la densidad de los números racionales $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$.

1. Análisis del complemento:

   En lugar de atacar $\{f \le g\}$ directamente, analicemos su complemento: $\{x \in E : f(x) > g(x)\}$. Si demostramos que este conjunto es medible, entonces su complemento (lo que buscamos) también lo será.

2. Uso de los Racionales:

   Para cualquier punto $x$, si $f(x) > g(x)$, entonces existe un número racional $q \in \mathbb{Q}$ que se "intercala" estrictamente entre ellos:

$$f(x) > g(x) \iff \exists q \in \mathbb{Q} \text{ tal que } f(x) > q > g(x)$$

Esto nos permite descomponer la condición en dos partes más simples que involucran constantes: $f(x) > q$ y $g(x) < q$.

3. Expresión como Unión:

Podemos escribir el conjunto como:

$$\{x \in E : f(x) > g(x)\} = \bigcup_{q \in \mathbb{Q}} \left( \{x : f(x) > q\} \cap \{x : g(x) < q\} \right)$$

4. Justificación de Medibilidad:

   • Para cada $q$ fijo, $\{f > q\} \in \mathcal{M}$ porque $f$ es medible.

   • Para cada $q$ fijo, $\{g < q\} \in \mathcal{M}$ porque $g$ es medible.

   • La intersección de estos dos conjuntos está en $\mathcal{M}$.

   • El conjunto $\mathbb{Q}$ es numerable. Como una $\sigma$-álgebra es cerrada bajo uniones numerables, la unión total pertenece a $\mathcal{M}$.

$$\implies \{x \in E : f(x) > g(x)\} \in \mathcal{M}$$

5. Conclusión:

   Finalmente, tomamos el complemento:

$$\{x \in E : f(x) \le g(x)\} = E \setminus \{x \in E : f(x) > g(x)\}$$

Como la $\sigma$-álgebra es cerrada bajo complementos, el conjunto resultante es medible.

$$\therefore \{x \in E : f(x) \le g(x)\} \in \mathcal{M}$$

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Resolución Parte (c)

Objetivo: Probar que la medibilidad se preserva bajo la igualdad "casi todo" (almost everywhere, a.e.).

Nota Teórica Importante: Este resultado asume que el espacio de medida es completo. Un espacio es completo si todos los subconjuntos de un conjunto de medida nula son medibles (y tienen medida nula). Sin esta asunción, $g$ no es necesariamente medible. Asumiremos completitud, que es el contexto estándar para este enunciado.

1. Definición de "casi todo":

   Que $f = g$ "casi todo" significa que el conjunto donde difieren tiene medida cero.

   Sea $N = \{x \in E : f(x) \neq g(x)\}$. Por hipótesis, $\mu(N) = 0$.

2. Descomposición de un conjunto de nivel:

   Queremos ver si $g$ es medible. Analicemos el conjunto generador $\{x \in E : g(x) > a\}$ para un $a \in \mathbb{R}$ arbitrario.

   Podemos dividir este conjunto en dos partes: los $x$ que están en $N$ (donde $f \neq g$) y los que no están en $N$ (donde $f = g$).

$$\{g > a\} = \left( \{g > a\} \cap N^c \right) \cup \left( \{g > a\} \cap N \right)$$

3. Análisis de la primera parte (fuera de $N$):

   En el conjunto $N^c$, sabemos que $g(x) = f(x)$. Por tanto:

$$\{g > a\} \cap N^c = \{f > a\} \cap N^c$$

- $\{f > a\} \in \mathcal{M}$ porque $f$ es medible.
    
- $N \in \mathcal{M}$ (tiene medida 0), por lo que $N^c \in \mathcal{M}$.
    
- La intersección de medibles es medible. Así, la primera parte pertenece a $\mathcal{M}$.
    

4. Análisis de la segunda parte (dentro de $N$):

Consideremos el conjunto $S = \{g > a\} \cap N$.

Observemos que $S \subset N$.

- Como $\mu(N) = 0$ y asumimos que el espacio es **completo**(No hace falta pedir esto), cualquier subconjunto de un conjunto de medida nula es medible (y tiene medida nula).
    
- Por lo tanto, $S \in \mathcal{M}$.
    

5. Conclusión:

El conjunto $\{g > a\}$ es la unión de dos conjuntos medibles:

$$\{g > a\} = (\text{Medible}_1) \cup (\text{Medible}_2) \in \mathcal{M}$$

Esto vale para todo $a \in \mathbb{R}$, por lo tanto, $g$ es una función medible.