G9 - E2

[!infobox] Ejercicio: Definiciones Equivalentes de Función Medible Contexto: Teoría de la Medida / $\sigma$-álgebras. Enunciado: Probar la equivalencia entre las condiciones de preimagen para $f: X \to \mathbb{R}$ sobre una $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$: (a) $\{f > a\} \in \mathcal{A}$ (b) $\{f \le a\} \in \mathcal{A}$ (c) $\{f \ge a\} \in \mathcal{A}$ (d) $\{f < a\} \in \mathcal{A}$ Clave Teórica:

• Complementos: Invierten la desigualdad ($> \leftrightarrow \le$ y $< \leftrightarrow \ge$).
• Sucesiones: Transforman desigualdades estrictas en no estrictas y viceversa ($\bigcup$ convierte $\le$ en $<$; $\bigcap$ convierte $<$ en $\le$).

1. Idea para encarar el ejercicio

La estrategia se basa en las propiedades definitorias de una $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$:

1. Cerrada bajo complementos: Si $E \in \mathcal{A}$, entonces $E^c \in \mathcal{A}$. Esto nos permite invertir desigualdades (de $>$ a $\le$, o de $<$ a $\ge$).

2. Cerrada bajo uniones numerables: Si $E_n \in \mathcal{A}$, entonces $\bigcup E_n \in \mathcal{A}$. Esto nos permite pasar de desigualdades no estrictas ($\le, \ge$) a estrictas ($<, >$) usando sucesiones, como vimos en tu consulta anterior.

Plan de ataque (Ciclo de Implicaciones):

Probaremos el ciclo $(a) \implies (b) \implies (d) \implies (c) \implies (a)$.

• Los pasos $(a) \to (b)$ y $(d) \to (c)$ son inmediatos por complementos.

• Los pasos $(b) \to (d)$ y $(c) \to (a)$ requieren el "truco" de la unión numerable y la propiedad arquimediana.

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2. Demostración Paso a Paso

Paso 1: $(a) \implies (b)$ (Uso del Complemento)

Hipótesis: $\{x : f(x) > a\} \in \mathcal{A}$ para todo $a \in \mathbb{R}$.

Tesis: $\{x : f(x) \le a\} \in \mathcal{A}$.

Observamos que el conjunto $\{f(x) \le a\}$ es exactamente el complemento del conjunto $\{f(x) > a\}$ en $X$.

$$\{x : f(x) \le a\} = X \setminus \{x : f(x) > a\} = \{x : f(x) > a\}^c$$

Como $\mathcal{A}$ es una $\sigma$-álgebra, es cerrada bajo complementos. Por lo tanto, el conjunto pertenece a $\mathcal{A}$.

Paso 2: $(b) \implies (d)$ (Uso de Unión Numerable)

Hipótesis: $\{x : f(x) \le a\} \in \mathcal{A}$ para todo $a \in \mathbb{R}$.

Tesis: $\{x : f(x) < a\} \in \mathcal{A}$.

Esta es la demostración que hicimos en detalle en tu turno anterior. Usamos la propiedad arquimediana para expresar la desigualdad estricta como unión:

$$\{x : f(x) < a\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{x : f(x) \le a - \frac{1}{n}\right\}$$

Cada término de la unión es medible por hipótesis (tomando $y = a - 1/n$). La unión numerable de medibles es medible.

Paso 3: $(d) \implies (c)$ (Uso del Complemento)

Hipótesis: $\{x : f(x) < a\} \in \mathcal{A}$ para todo $a \in \mathbb{R}$.

Tesis: $\{x : f(x) \ge a\} \in \mathcal{A}$.

La relación es directa por complementación:

$$\{x : f(x) \ge a\} = X \setminus \{x : f(x) < a\} = \{x : f(x) < a\}^c$$

Al ser complemento de un conjunto en $\mathcal{A}$, pertenece a $\mathcal{A}$.

Paso 4: $(c) \implies (a)$ (Uso de Unión Numerable)

Hipótesis: $\{x : f(x) \ge a\} \in \mathcal{A}$ para todo $a \in \mathbb{R}$.

Tesis: $\{x : f(x) > a\} \in \mathcal{A}$.

Similar al paso 2, queremos transformar un $\ge$ en un $>$.

Si $f(x) > a$, entonces existe un margen pequeño tal que $f(x) \ge a + \frac{1}{n}$ para algún $n$.

Proponemos la identidad:

$$\{x : f(x) > a\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{x : f(x) \ge a + \frac{1}{n}\right\}$$

• $(\supseteq)$ Si $f(x) \ge a + 1/n$, entonces $f(x) > a$.

• $(\subseteq)$ Si $f(x) > a$, sea $\epsilon = f(x) - a > 0$. Existe $n$ tal que $1/n < \epsilon$, luego $f(x) > a + 1/n$.

  Como es una unión numerable de conjuntos que están en $\mathcal{A}$ (por hipótesis c), el resultado está en $\mathcal{A}$.

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3. Conclusión sobre Medibilidad

El ejercicio pide concluir sobre la definición estándar.

Definición: Sea $(X, \mathcal{M})$ un espacio de medida. Una función $f: X \to \mathbb{R}$ se dice Lebesgue-medible si para todo $\alpha \in \mathbb{R}$, el conjunto imagen inversa del intervalo $(\alpha, \infty)$ es medible. Es decir:

$$f^{-1}((\alpha, \infty)) = \{x \in X : f(x) > \alpha\} \in \mathcal{M}$$

Esto corresponde exactamente al ítem (a) del ejercicio.

Dado que hemos probado que $(a) \iff (b) \iff (c) \iff (d)$, podemos concluir que cualquiera de estas cuatro condiciones es suficiente y necesaria para verificar que una función es medible.

En la práctica, esto es muy útil: a veces es más fácil probar que $\{f \le a\}$ es medible (por ejemplo, si trabajamos con funciones semicontinuas) y gracias a este ejercicio, sabemos que eso implica medibilidad completa.

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4. Nota para Obsidian (Nivel Parcial)

Demostración Rigurosa (Ciclo de Implicaciones):

1. $(a) \implies (b)$:

$$\{f \le a\} = \{f > a\}^c$$

Como $\mathcal{A}$ es cerrada bajo complementos, la implicación es inmediata.

2. $(b) \implies (d)$: Usamos la propiedad arquimediana para escribir la desigualdad estricta como unión numerable:

$$\{f < a\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{ f \le a - \frac{1}{n} \right\}$$

Como $\mathcal{A}$ es cerrada bajo uniones numerables, $\{f < a\} \in \mathcal{A}$.

3. $(d) \implies (c)$:

$$\{f \ge a\} = \{f < a\}^c$$

Nuevamente, por propiedad de complementos en la $\sigma$-álgebra.

4. $(c) \implies (a)$: Usamos unión numerable acercándonos por la derecha:

$$\{f > a\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{ f \ge a + \frac{1}{n} \right\}$$

La unión numerable de conjuntos medibles es medible.

Conclusión: Si $X \in \mathcal{M}$ y $\mathcal{A} = \mathcal{M}$, la definición estándar de función medible es la (a). Al ser equivalentes, se puede verificar la medibilidad comprobando cualquiera de las cuatro condiciones (usualmente se elige la que simplifique las cuentas según la función dada).

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Este es un teorema clásico en Teoría de la Medida que establece que la medibilidad de una función se puede verificar utilizando cualquiera de los tipos de intervalos (rayos) que generan la topología o la $\sigma$-álgebra de Borel en $\mathbb{R}$.

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Ejercicio 2

Objetivo: Probar la equivalencia de las cuatro condiciones dadas y concluir sobre la medibilidad de la función $f$.

Recordemos primero las propiedades fundamentales de una $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$:

1. Complemento: Si $E \in \mathcal{A}$, entonces $E^c \in \mathcal{A}$.

2. Unión Numerable: Si $(E_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es una sucesión en $\mathcal{A}$, entonces $\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n \in \mathcal{A}$.

3. Intersección Numerable: Si $(E_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es una sucesión en $\mathcal{A}$, entonces $\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n \in \mathcal{A}$.

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Demostración de las Equivalencias

Probaremos la cadena de implicaciones cíclica:

$$(a) \implies (b) \implies (d) \implies (c) \implies (a)$$

Esto demostrará que todas son equivalentes entre sí.

Paso 1: (a) $\implies$ (b)

Hipótesis: $\{x \in X : f(x) > a\} \in \mathcal{A}$ para todo $a \in \mathbb{R}$.

Por demostrar: $\{x \in X : f(x) \le a\} \in \mathcal{A}$.

Observemos la relación de conjuntos complementarios. El conjunto donde $f(x)$ es menor o igual que $a$ es exactamente el complemento del conjunto donde $f(x)$ es estrictamente mayor que $a$.

$$\{x : f(x) \le a\} = X \setminus \{x : f(x) > a\} = \{x : f(x) > a\}^c$$

Como por hipótesis el conjunto $\{x : f(x) > a\}$ pertenece a $\mathcal{A}$, y una $\sigma$-álgebra es cerrada bajo complementos, entonces $\{x : f(x) \le a\} \in \mathcal{A}$.

Paso 2: (b) $\implies$ (d)

Hipótesis: $\{x \in X : f(x) \le a\} \in \mathcal{A}$ para todo $a \in \mathbb{R}$.

Por demostrar: $\{x \in X : f(x) < a\} \in \mathcal{A}$.

Aquí usaremos la propiedad de unión numerable. Podemos expresar el intervalo abierto $(-\infty, a)$ como una unión numerable de intervalos cerrados de la forma $(-\infty, a - \frac{1}{n}]$.

$$\{x : f(x) < a\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{x : f(x) \le a - \frac{1}{n}\right\}$$

Justificación:

• Si $f(x) < a$, existe un $n$ suficientemente grande tal que $f(x) \le a - \frac{1}{n}$, por lo que $x$ está en la unión.

• Si $x$ está en la unión, entonces $f(x) \le a - \frac{1}{n}$ para algún $n$, lo cual implica estrictamente que $f(x) < a$.

Dado que $a - \frac{1}{n}$ es un número real, por hipótesis el conjunto $\{x : f(x) \le a - \frac{1}{n}\}$ pertenece a $\mathcal{A}$. Como $\mathcal{A}$ es cerrada bajo uniones numerables, concluimos que $\{x : f(x) < a\} \in \mathcal{A}$.

Paso 3: (d) $\implies$ (c)

Hipótesis: $\{x \in X : f(x) < a\} \in \mathcal{A}$ para todo $a \in \mathbb{R}$.

Por demostrar: $\{x \in X : f(x) \ge a\} \in \mathcal{A}$.

Nuevamente usamos complementos.

$$\{x : f(x) \ge a\} = \{x : f(x) < a\}^c$$

Por hipótesis, $\{x : f(x) < a\} \in \mathcal{A}$. Al ser $\mathcal{A}$ cerrada bajo complementos, entonces $\{x : f(x) \ge a\} \in \mathcal{A}$.

Paso 4: (c) $\implies$ (a)

Hipótesis: $\{x \in X : f(x) \ge a\} \in \mathcal{A}$ para todo $a \in \mathbb{R}$.

Por demostrar: $\{x \in X : f(x) > a\} \in \mathcal{A}$.

Usaremos nuevamente uniones numerables. El intervalo $(a, \infty)$ puede escribirse como la unión de intervalos $[a + \frac{1}{n}, \infty)$.

$$\{x : f(x) > a\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{x : f(x) \ge a + \frac{1}{n}\right\}$$

Justificación:

• Si $f(x) > a$, la diferencia $f(x) - a > 0$. Existe un $n$ tal que $\frac{1}{n} < f(x) - a$, o sea, $f(x) > a + \frac{1}{n}$.

• Recíprocamente, si $f(x) \ge a + \frac{1}{n}$, entonces $f(x) > a$.

Como $a + \frac{1}{n} \in \mathbb{R}$, por hipótesis cada conjunto de la unión está en $\mathcal{A}$. Por la propiedad de unión numerable, $\{x : f(x) > a\} \in \mathcal{A}$.

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Conclusión sobre la Medibilidad

El enunciado pide concluir que si $X \in \mathcal{M}$ (el espacio es medible) y $\mathcal{A}$ es la $\sigma$-álgebra considerada, entonces $f$ es medible si y solo si vale alguno de los ítems.

Definición de Función Medible:

Una función $f: X \to \mathbb{R}$ se dice medible (respecto a la $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$ en el dominio y la $\sigma$-álgebra de Borel $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ en el codominio) si para todo conjunto $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, se cumple que:

$$f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\} \in \mathcal{A}$$

Razonamiento:

1. La $\sigma$-álgebra de Borel $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ es la $\sigma$-álgebra más pequeña que contiene a todos los intervalos abiertos (y cerrados) de $\mathbb{R}$.

2. Específicamente, $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ es generada por la colección de rayos $(a, \infty)$ para todo $a \in \mathbb{R}$. Esto significa que cualquier conjunto de Borel se puede formar mediante operaciones numerables (uniones, intersecciones, complementos) de estos rayos.

3. Si probamos que la preimagen de los generadores (los rayos $(a, \infty)$, que corresponden al caso (a)) está en $\mathcal{A}$, entonces la preimagen de cualquier conjunto de Borel estará en $\mathcal{A}$ (porque la operación de preimagen $f^{-1}$ preserva uniones, intersecciones y complementos).

Por lo tanto:

• Si $f$ es medible, por definición la preimagen de cualquier Boreliano está en $\mathcal{A}$. Como los intervalos $(a, \infty)$, $(-\infty, a]$, etc., son Borelicos, se cumplen (a), (b), (c) y (d).

• Si se cumple cualquiera de los ítems (por ejemplo el (a)), como hemos demostrado que son equivalentes, se cumplen todos. Y como estos intervalos generan $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, esto implica que $f^{-1}(B) \in \mathcal{A}$ para todo $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. Es decir, $f$ es medible.

Q.E.D.