G9 - E1

Enunciado:

Sea $f$ una función simple. Pruebe que $|f|$ es simple.

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Conceptos previos:

En el contexto de la Teoría de la Medida e Integración, una función $f: X \to \mathbb{R}$ se denomina simple si cumple dos condiciones:

1. Es una función medible.

2. Su imagen (el conjunto de valores que toma) es finita.

La representación canónica de una función simple es:

$$f(x) = \sum_{i=1}^n c_i \cdot \chi_{E_i}(x)$$

Donde:

• $\{c_1, \dots, c_n\}$ son los valores distintos que toma $f$.

• $E_i = \{x \in X : f(x) = c_i\}$ son conjuntos medibles y disjuntos entre sí.

• $\chi_{E_i}$ es la función característica (o indicadora) del conjunto $E_i$.

Demostración:

Queremos probar que $|f|$ cumple con las dos condiciones de la definición: tener rango finito y ser medible.

1. Finitud del rango (Imagen)

Sea $\text{Im}(f) = \{c_1, c_2, \dots, c_n\}$ el conjunto de valores que toma la función $f$. Por definición de función simple, este conjunto es finito ($n \in \mathbb{N}$).

La función $|f|$ se define como $(|f|)(x) = |f(x)|$.

Por lo tanto, el conjunto de valores que toma $|f|$ es:

$$\text{Im}(|f|) = \{|c_1|, |c_2|, \dots, |c_n|\}$$

El número de elementos de $\text{Im}(|f|)$ es a lo sumo $n$ (podría ser menor si, por ejemplo, $f$ toma los valores $2$ y $-2$, ya que su valor absoluto sería $2$ en ambos casos).

Como un subconjunto de un conjunto finito es finito, $|f|$ toma un número finito de valores.

2. Medibilidad

Para que $|f|$ sea simple, los conjuntos donde toma cada valor deben ser medibles.

Sea $v \in \text{Im}(|f|)$. Queremos ver que el conjunto $A_v = \{x \in X : |f(x)| = v\}$ es medible.

Podemos escribir este conjunto como la unión de las preimágenes de los valores originales de $f$ que tienen valor absoluto igual a $v$:

$$A_v = \{x : f(x) = v\} \cup \{x : f(x) = -v\}$$

O en términos de preimágenes:

$$A_v = f^{-1}(\{v\}) \cup f^{-1}(\{-v\})$$

• Como $f$ es una función simple, es medible. Por lo tanto, las preimágenes $f^{-1}(\{v\})$ y $f^{-1}(\{-v\})$ son conjuntos medibles.

• La unión finita de conjuntos medibles es medible.

• Por lo tanto, $A_v$ es un conjunto medible.

Esto demuestra que $|f|$ es una función medible.

(Nota: También se puede justificar diciendo que la composición de una función medible $f$ con una función continua $g(t) = |t|$ es siempre medible).

Conclusión

Dado que $|f|$ es una función medible y toma un número finito de valores, concluimos que $|f|$ es una función simple.

Q.E.D.