G8-E9

[!infobox] Proposición: Relación entre Medida Nula e Interior Vacío Contexto: Relación Medida-Topología Enunciado: Sea $A \in \mathcal{M}$.

1. Si $\mu(A) = 0$, entonces $A^\circ = \emptyset$.
2. La recíproca es FALSA (existen conjuntos de interior vacío con medida positiva). Advertencia/Clave: Para el contraejemplo, usar los irracionales o un "Conjunto de Cantor gordo" (Smith-Volterra-Cantor).

Demostración (1): $\mu(A) = 0 \implies A^\circ = \emptyset$ Procedemos por reducción al absurdo. Supongamos que $A^\circ \neq \emptyset$.

1. Por definición de punto interior, existe un intervalo abierto no vacío $I \subseteq A$.
2. Sea $I = (a, b)$ con $a < b$. Su medida es $\mu(I) = b - a > 0$.
3. Por la propiedad de monotonía de la medida de Lebesgue:

$$I \subseteq A \implies \mu(I) \leq \mu(A)$$

4. Sustituyendo los valores:

$$0 < b - a \leq \mu(A)$$

Esto implica que $\mu(A) > 0$, lo cual contradice la hipótesis $\mu(A) = 0$.

$\therefore A^\circ = \emptyset$. $\quad \square$

Refutación de la Recíproca (2): $A^\circ = \emptyset \nRightarrow \mu(A) = 0$ Mostramos un contraejemplo. Sea $A = \mathbb{I} \cap [0, 1]$ el conjunto de los números irracionales en el intervalo unitario.

1. Interior Vacío: Para cualquier intervalo abierto $(a, b) \subseteq [0, 1]$, por la densidad de los números racionales $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$, existe un $q \in \mathbb{Q}$ tal que $q \in (a, b)$. Como $q \notin \mathbb{I}$, entonces $(a, b) \nsubseteq A$. Dado que $A$ no contiene ningún intervalo abierto, $A^\circ = \emptyset$.

2. Medida Positiva: Sabemos que $[0, 1] = (\mathbb{Q} \cap [0, 1]) \cup A$. $\mu([0, 1]) = 1$ y $\mu(\mathbb{Q} \cap [0, 1]) = 0$ (por ser numerable).

$$\mu(A) = \mu([0, 1]) - \mu(\mathbb{Q} \cap [0, 1]) = 1 - 0 = 1$$

Como $\mu(A) = 1 \neq 0$, la recíproca no se cumple.

$$\blacksquare$$