G8-E6

[!infobox] Ejercicio: Medida de $\mathbb{Q}$ y los Irracionales Contexto: Medida de Lebesgue / Propiedades de Conjuntos Numerables Enunciado:

1. Calcule $\lambda(\mathbb{Q})$.
2. Calcule $\lambda(\mathbb{I} \cap [0,1])$ (donde $\mathbb{I}$ son los irracionales).
3. Justifique la medibilidad de ambos.

Clave: $\mathbb{Q}$ es un conjunto de medida nula a pesar de ser denso. Esto implica que "casi todos" los números reales son irracionales.

Demostración:

(1) Medida y Medibilidad de $\mathbb{Q}$

• Medibilidad: El conjunto $\mathbb{Q}$ es numerable, por lo que puede escribirse como unión numerable de singletons: $\mathbb{Q} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{q_n\}$. Dado que cada $\{q_n\}$ es cerrado, es Borel-medible (y por ende Lebesgue-medible). Como la $\sigma$-álgebra es cerrada bajo uniones numerables, $\mathbb{Q} \in \mathcal{M}$.
• Medida: Dado que $\mathbb{Q}$ es numerable, por la propiedad demostrada previamente (todo conjunto numerable es nulo):

$$\lambda(\mathbb{Q}) = 0$$

(2) Medida y Medibilidad de los Irracionales en $[0,1]$ Sea $A$ el conjunto de los números irracionales en $[0,1]$. Definimos $A = [0,1] \setminus \mathbb{Q}$.

• Medibilidad: Sabemos que el intervalo $[0,1]$ es medible (es cerrado) y $\mathbb{Q}$ es medible. Dado que $\mathcal{M}$ es una $\sigma$-álgebra, es cerrada bajo diferencias de conjuntos ($E \setminus F = E \cap F^c$). Por tanto, $A \in \mathcal{M}$.

• Cálculo de la Medida: Podemos descomponer el intervalo $[0,1]$ en la unión disjunta de sus partes racional e irracional:

$$[0,1] = (\mathbb{Q} \cap [0,1]) \;\cup\; A$$

Por la aditividad finita de la medida de Lebesgue:

$$\lambda([0,1]) = \lambda(\mathbb{Q} \cap [0,1]) + \lambda(A)$$

Sabemos que:
1.  $\lambda([0,1]) = 1 - 0 = 1$.
2.  $\mathbb{Q} \cap [0,1] \subseteq \mathbb{Q}$, y como $\lambda(\mathbb{Q})=0$, por monotonía (y completitud) $\lambda(\mathbb{Q} \cap [0,1]) = 0$.

Sustituyendo:

$$1 = 0 + \lambda(A) \implies \lambda(A) = 1$$

Conclusión: Los racionales tienen medida 0, mientras que los irracionales del intervalo $[0,1]$ tienen medida 1 (medida plena).

$$\blacksquare$$