G8-E4

[!infobox] Proposición: Medibilidad y Medida de Intervalos Generales Contexto: Medida de Lebesgue en R\mathbb{R}. Enunciado: Los intervalos [a,b)[a, b), [a,b][a, b] y [a,+∞)[a, +\infty) son Lebesgue-medibles. Sus medidas son b−ab-a, b−ab-a y +∞+\infty respectivamente. Clave: La demostración utiliza la descomposición en conjuntos disjuntos y el hecho de que λ({pt})=0\lambda(\{pt\}) = 0.

Demostración:

Asumimos conocido que λ((a,b))=b−a\lambda((a,b)) = b-a y λ({x})=0\lambda(\{x\}) = 0.

1. Para el intervalo [a,b)[a, b): Escribimos el conjunto como la unión disjunta:

[a,b)={a}∪(a,b)[a, b) = \{a\} \cup (a, b)
  • Medibilidad: {a}\{a\} es medible (conjunto finito/cerrado) y (a,b)(a, b) es medible (abierto). Por ser σ\sigma-álgebra, la unión es medible.
  • Medida: Por aditividad finita en conjuntos disjuntos:
λ([a,b))=λ({a})+λ((a,b))=0+(b−a)=b−a\lambda([a, b)) = \lambda(\{a\}) + \lambda((a, b)) = 0 + (b - a) = b - a

2. Para el intervalo [a,b][a, b]: Escribimos:

[a,b]=[a,b)∪{b}[a, b] = [a, b) \cup \{b\}
  • Medibilidad: Unión de conjuntos medibles.
  • Medida:
λ([a,b])=λ([a,b))+λ({b})=(b−a)+0=b−a\lambda([a, b]) = \lambda([a, b)) + \lambda(\{b\}) = (b - a) + 0 = b - a

3. Para el intervalo no acotado [a,+∞)[a, +\infty):

  • Medibilidad: [a,+∞)=(−∞,a)c[a, +\infty) = (-\infty, a)^c. Como (−∞,a)(-\infty, a) es abierto (medible), su complemento es cerrado y medible.
  • Medida: Consideramos la sucesión creciente de conjuntos medibles An=[a,a+n]A_n = [a, a + n]. Observamos que ⋃n=1∞An=[a,+∞)\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = [a, +\infty). Por la propiedad de Continuidad de la Medida desde abajo:
λ([a,+∞))=lim⁡n→∞λ(An)=lim⁡n→∞((a+n)−a)=lim⁡n→∞n=+∞\lambda([a, +\infty)) = \lim_{n \to \infty} \lambda(A_n) = \lim_{n \to \infty} ( (a+n) - a ) = \lim_{n \to \infty} n = +\infty ■\blacksquare