G8-E3

[!infobox] Proposición: Los conjuntos numerables tienen medida nula Contexto: Medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$. Enunciado: Sea $A \subseteq \mathbb{R}$ un conjunto numerable (finito o infinito numerable). Entonces, su medida de Lebesgue es cero ($\lambda(A) = 0$). Clave: Se basa en que la medida de un punto es cero y la propiedad de $\sigma$-aditividad.

Demostración:

Sea $A \subseteq \mathbb{R}$ un conjunto numerable. Podemos enumerar sus elementos como una sucesión $\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$. Expresamos $A$ como una unión numerable de conjuntos unitarios disjuntos:

$$A = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{x_n\}$$

1. Medida del Singleton: Para cualquier $x \in \mathbb{R}$, sabemos que $\{x\} \subset [x, x]$. Por la definición de la medida de Lebesgue en intervalos:

$$\lambda(\{x\}) = x - x = 0$$

2. Aplicación de $\sigma$-aditividad: Dado que la medida de Lebesgue es una medida contablemente aditiva y los conjuntos $\{x_n\}$ son disjuntos dos a dos:

$$\lambda(A) = \lambda\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \{x_n\} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \lambda(\{x_n\})$$

3. Cálculo: Sustituyendo el resultado de (1) en (2):

$$\lambda(A) = \sum_{n=1}^{\infty} 0 = 0$$

Corolario Importante: El conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$ tiene medida de Lebesgue cero ($\lambda(\mathbb{Q}) = 0$), a pesar de ser denso en $\mathbb{R}$.

$$\blacksquare$$