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[!infobox] Ejercicio: Propiedades Aritméticas de las $\sigma$-álgebras Contexto: Teoría de la Medida (Definición de $\sigma$-álgebra) Enunciado: Sea $(X, \mathcal{A})$ un espacio medible. Pruebe que $\emptyset \in \mathcal{A}$, que es cerrada bajo diferencias y bajo intersecciones numerables. Clave: Las demostraciones se basan casi exclusivamente en las Leyes de De Morgan y la propiedad de cerradura bajo complementos.

Demostración:

Asumimos los axiomas de $\sigma$-álgebra: (i) $X \in \mathcal{A}$, (ii) cerrado bajo complementos, (iii) cerrado bajo uniones numerables.

(a) El conjunto vacío pertenece a $\mathcal{A}$

1. Por el axioma (i), $X \in \mathcal{A}$.
2. Por el axioma (ii), si $X \in \mathcal{A}$, entonces $X^c \in \mathcal{A}$.
3. Dado que $X^c = \emptyset$, concluimos que $\emptyset \in \mathcal{A}$.

(c) Cerradura bajo intersecciones numerables (Adelantamos este resultado para usarlo en b) Sea $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathcal{A}$.

1. Por axioma (ii), $A_n^c \in \mathcal{A}$ para todo $n$.
2. Por axioma (iii), la unión de estos complementos pertenece a $\mathcal{A}$:

$$U = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c \in \mathcal{A}$$

3. Por axioma (ii), el complemento de $U$ pertenece a $\mathcal{A}$. Aplicando Leyes de De Morgan:

$$U^c = \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n^c \right)^c = \bigcap_{n=1}^{\infty} (A_n^c)^c = \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n$$

4. Por lo tanto, $\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A}$.

(b) Diferencia y Diferencia Simétrica Sean $A, B \in \mathcal{A}$.

• Para la diferencia $A \setminus B$: Sabemos que $A \setminus B = A \cap B^c$.
  1. $B \in \mathcal{A} \implies B^c \in \mathcal{A}$.
  2. Como la intersección numerable es cerrada (probado en c) y la intersección finita es un caso particular (tomando $A_1=A, A_2=B^c, A_k=X$ para $k>2$), entonces $A \cap B^c \in \mathcal{A}$.

$$\therefore A \setminus B \in \mathcal{A}$$

• Para la diferencia simétrica $A \triangle B$: Por definición: $A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$.
  1. Por lo demostrado arriba, $(A \setminus B) \in \mathcal{A}$ y $(B \setminus A) \in \mathcal{A}$.
  2. Por el axioma (iii) (unión finita como caso particular de numerable), la unión de dos conjuntos de $\mathcal{A}$ pertenece a $\mathcal{A}$.

$$\therefore A \triangle B \in \mathcal{A}$$ $$\blacksquare$$