G8-E14

[!infobox] Proposición: Continuidad de la Medida respecto a la Diferencia Simétrica Contexto: Convergencia de Conjuntos y Medidas Enunciado: Sea $(A_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathcal{M}$ y $B \in \mathcal{M}$. Si $\mu(A_n \triangle B) \to 0$ cuando $n \to \infty$, entonces $\mu(A_n) \to \mu(B)$. Clave: Usar la desigualdad triangular para medidas: $|\mu(A) - \mu(B)| \leq \mu(A \triangle B)$.

Demostración:

Queremos probar que $|\mu(A_n) - \mu(B)| \to 0$.

1. Inclusiones de Conjuntos: Observamos las siguientes relaciones de conjuntos basadas en la definición de diferencia simétrica ($A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$):

   • $A_n = (A_n \cap B) \cup (A_n \setminus B) \subseteq B \cup (A_n \triangle B)$
   • $B = (A_n \cap B) \cup (B \setminus A_n) \subseteq A_n \cup (A_n \triangle B)$

2. Desigualdades de Medida: Aplicamos la medida $\mu$ y utilizamos las propiedades de monotonía y subaditividad finita:

   • De la primera inclusión:

$$\mu(A_n) \leq \mu(B) + \mu(A_n \triangle B) \implies \mu(A_n) - \mu(B) \leq \mu(A_n \triangle B)$$

* De la segunda inclusión:
    

$$\mu(B) \leq \mu(A_n) + \mu(A_n \triangle B) \implies \mu(B) - \mu(A_n) \leq \mu(A_n \triangle B)$$

    Esto equivale a:
    

$$-(\mu(A_n) - \mu(B)) \leq \mu(A_n \triangle B)$$

3. Combinación (Desigualdad Triangular): Combinando ambas desigualdades, obtenemos una cota para el valor absoluto de la diferencia (asumiendo medidas finitas momentáneamente para la resta, o por comparación directa en el límite):

$$|\mu(A_n) - \mu(B)| \leq \mu(A_n \triangle B)$$

4. Paso al Límite: Dado que por hipótesis $\lim_{n \to \infty} \mu(A_n \triangle B) = 0$:

$$\lim_{n \to \infty} |\mu(A_n) - \mu(B)| \leq 0$$

Esto implica que $\lim_{n \to \infty} |\mu(A_n) - \mu(B)| = 0$, y por lo tanto:

$$\lim_{n \to \infty} \mu(A_n) = \mu(B)$$

*(Nota: Si $\mu(B) = \infty$, la desigualdad $\mu(B) \leq \mu(A_n) + \mu(A_n \triangle B)$ implica que $\mu(A_n)$ debe crecer indefinidamente, por lo que el límite también coincide).*

$$\blacksquare$$