G8-E12

[!infobox] Teorema: Criterio de Regularidad (Aproximación por Abiertos y Cerrados) Contexto: Caracterización de Conjuntos Medibles Lebesgue Enunciado: Sea $A \subseteq \mathbb{R}$. $A \in \mathcal{M} \iff \forall \varepsilon > 0, \exists G \text{ abierto}, F \text{ cerrado tal que } F \subseteq A \subseteq G \text{ y } \mu(G \setminus F) < \varepsilon$.

Advertencia/Clave: La dirección ($\Leftarrow$) depende crucialmente de la Completitud de la medida de Lebesgue (un subconjunto de un conjunto de medida nula es medible).

Demostración:

1. Necesidad ($\Rightarrow$) Supongamos que $A \in \mathcal{M}$. Por las propiedades de Regularidad de la medida de Lebesgue:

• Regularidad Exterior: Existe un abierto $G \supseteq A$ tal que $\mu(G \setminus A) < \varepsilon/2$.
• Regularidad Interior (aproximación por cerrados): Existe un cerrado $F \subseteq A$ tal que $\mu(A \setminus F) < \varepsilon/2$.

Analizamos la diferencia $G \setminus F$. Dado que $F \subseteq A \subseteq G$, podemos descomponer la diferencia como la unión disjunta de los errores de aproximación:

$$G \setminus F = (G \setminus A) \cup (A \setminus F)$$

Aplicando la subaditividad (o aditividad en este caso disjunto):

$$\mu(G \setminus F) = \mu(G \setminus A) + \mu(A \setminus F) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$

2. Suficiencia ($\Leftarrow$) Supongamos que para todo $n \in \mathbb{N}$, tomando $\varepsilon = 1/n$, existen $G_n$ abierto y $F_n$ cerrado tales que:

$$F_n \subseteq A \subseteq G_n \quad \text{y} \quad \mu(G_n \setminus F_n) < \frac{1}{n}$$

Podemos expresar el conjunto $A$ como:

$$A = F_n \cup (A \setminus F_n)$$

Observamos que:

1. $F_n$ es un conjunto cerrado, por lo tanto es Borel-medible y $F_n \in \mathcal{M}$.
2. Para el término residual $(A \setminus F_n)$, notamos que:

$$(A \setminus F_n) \subseteq (G_n \setminus F_n)$$

Por la monotonía de la medida exterior $\mu^*$:

$$\mu^*(A \setminus F_n) \leq \mu(G_n \setminus F_n) < \frac{1}{n}$$

Dado que esto vale para todo $n$, si hacemos $n \to \infty$, tenemos que $\mu^*(A \setminus \bigcup F_n) = 0$. Definamos $E = A \setminus F_k$ para algún $k$ fijo suficientemente grande. Como su medida exterior puede hacerse arbitrariamente pequeña, $A$ difiere de un conjunto medible por un conjunto nulo. Más formalmente: Sea $Z = A \setminus F_n$. Como $Z \subseteq G_n \setminus F_n$ y $\mu(G_n \setminus F_n) \to 0$, $Z$ es un conjunto nulo. Por la Completitud de la medida de Lebesgue, todo conjunto con medida exterior nula es medible.

$$\therefore A \in \mathcal{M}$$ $$\blacksquare$$